Сфера описана около пирамида

[S.B.]

Около правилна четириъгълна пирамида с дължина на основния ръб $a$ и големина на двустенния ъгъл между две околни стени [tex]\alpha[/tex] е описана сфера.Да се намерят обема на пирамидата и радиуса на сферата.

[Davids]

Pyramid2.png (43.88 KiB) Прегледано 1270 пъти

а)
Стандартни означения.
1) Отбелязваме $AM = CM = h$ и по косинусова теорема от $\triangle AMC$ имаме $2a^2 = 2h^2(1 - cos\alpha) \Rightarrow h = \sqrt{\frac{a^2}{1 - cos\alpha}} = \frac{a}{\sqrt{2}sin\frac{\alpha}{2}}$.

2) По питагорова теорема намираме $BM^2 = a^2 - h^2 = a^2(1 - \frac{1}{2sin^2\frac{\alpha}{2}}) \Rightarrow BM = \frac{a}{sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{2sin^2\frac{\alpha}{2} - 1} = \frac{a}{sin\frac{\alpha}{2}}\sqrt{-cos\alpha}$ (което е в реда на нещата, понеже $\alpha$ винаги ще е тъп.

3) Означаваме $AG = BG = l$ и по питагорова теорема за $\triangle AMG$ намираме $l^2 = (l - BM)^2 + h^2 = l^2 - 2lBM + BM^2 + h^2$
$\Rightarrow 2lBM = BM^2 + h^2$, но $BM^2 + h^2 = AB^2 = a^2$, следователно $l = \frac{a^2}{2BM} = \frac{a^2sin\frac{\alpha}{2}}{a\sqrt{-cos\alpha}} = \frac{asin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{-cos\alpha}} $

4) Височината на пирамидата $GO = H$ намираме окончателно по питагорова теорема отново:
$H^2 = l^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2sin^2\frac{\alpha}{2}}{-cos\alpha} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2(2sin^2\frac{\alpha}{2} + cos\alpha)}{-2cos\alpha} = \frac{a^2(2sin^2\frac{\alpha}{2} - 1 + 1 + cos\alpha)}{-2cos\alpha} = \frac{a^2(- (1 - 2sin^2\frac{\alpha}{2}) + 1 + cos\alpha)}{-2cos\alpha} = \frac{a^2(\cancel{-cos\alpha} + 1 + \cancel{cos\alpha})}{-2cos\alpha} = -\frac{a^2}{2cos\alpha}$
$\Rightarrow H = \frac{a}{\sqrt{-2cos\alpha}}$

5) И окончателно обемът е $V = \frac{B.H}{3} = \frac{a^2.a}{3\sqrt{-2cos\alpha}} = \frac{a^3\sqrt{-2cos\alpha}}{-6cos\alpha}$

б) Радиусът на описаната сфера всъщност е радиусът на описаната около $\triangle ACG$ окръжност. За намирането му въртим една бърза формулка за лице по двата начина:
$S = \frac{AC.H}{2} = \frac{l^2H}{4R} \Rightarrow R = \frac{2l^2H}{4\sqrt{2}aH} = \frac{\sqrt{2}l^2}{4a} = \frac{a^2sin^2\frac{\alpha}{2}}{-cos\alpha}.\frac{\sqrt{2}}{4a} = \frac{\sqrt{2}asin^2\frac{\alpha}{2}}{-4cos\alpha}$
С което сме готови.

П.П. Смятал съм директно при изписването на латекс, така че е доста вероятно да имам допуснати грешки при изчисленията, но по мои наблюдения досега смятам, че няма. Хубава задачка

[S.B.]

Без заглавие (90).png (299.68 KiB) Прегледано 1243 пъти

Поздравлявам Davids за решението! Без да омаловажавам неговото решение,искам да представя и своя вариант на решение.
Още когато прочетох задачата си помислих,че много по-добре би било ако знаех ъгъла между околния ръб и основата, а не ъгъла между две околни стени.Ето защо аз реших да изразя ъгъла между околния ръб и основата - ъгъл $\beta$ чрез дадения ми ъгъл между две околни стени - ъгъл $\alpha$.
Нека [tex]\angle OCM = \beta[/tex]
От [tex]\triangle OBE[/tex] : $\frac{OE}{OB} = cotg\frac{\alpha}{2} \Rightarrow OE = \frac{a\sqrt{2}}{2}.cotg\frac{\alpha}{2}$
От [tex]\triangle OCE[/tex] :$\displaystyle \frac{OE}{OC} = sin\beta \Rightarrow sin\beta = \frac{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}cotg\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}} = cotg\displaystyle \frac{\alpha}{2} ; cos\beta = \displaystyle \frac{\sqrt{- cos\alpha}}{sin\displaystyle \frac{\alpha}{2}} ; tg\beta = \displaystyle \frac{cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\sqrt{- cos\alpha}}$
От [tex]\triangle OMC[/tex] : $\displaystyle \frac{OM}{OC} = tg\beta ,OM =\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{\sqrt{- cos\alpha}}$ или $ h = OM = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{-cos\alpha}}$
$ V = \displaystyle \frac{a^{3}\sqrt{2}cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{6\sqrt{- cos\alpha}}$
От $\triangle AMC : \angle AMC = \pi - 2\beta ,sin\angle AMC = sin(\pi - 2\beta) = sin2\beta = 2sin\beta.cos\beta = 2cotg\displaystyle \frac{\alpha}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{- cos\alpha}}{sin\displaystyle \frac{\alpha}{2}}$
За $\triangle AMC$ по синусова теорема :$\displaystyle \frac{AC}{sin(\pi - 2\beta)} = 2R \Rightarrow \displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2cotg\displaystyle\frac{\alpha}{2}.\displaystyle \frac{\sqrt{- cos\alpha}}{sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}}} = 2R$
Или $R = \displaystyle \frac{a\sqrt{2}sin^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}}{4.cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}\sqrt{- cos\alpha}}$
____________
$\alpha > 90^\circ \Rightarrow cos\alpha < 0 \Rightarrow - cos\alpha >0$