Сечение на куб

[S.B.]

В куб $ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ с ръб $a$ е прекарана равнина, перпендикулярна на диагонала $B_{1 }D$ ,минаваща през средата $M$ на ръба $AA_{1 }$.Да се намерят радиусите на вписаната и описана сфери за пирамидата с основа полученото сечение и връх $B_{1 }$.

[Davids]

В куб $ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ с ръб $a$ е прекарана равнина, перпендикулярна на диагонала $B_{1 }D$ ,минаваща през средата $M$ на ръба $AA_{1 }$.Да се намерят радиусите на вписаната и описана сфери за пирамидата с основа полученото сечение и връх $B_{1 }$.

CubeStuff.png (68.6 KiB) Прегледано 340 пъти

Няма да се обяснявам надълго и нашироко, ще скочим директно в началната фактология:
Сечението е правилен шестоъгълник със страна $MK = b = \frac{\sqrt{2}a}{2}$, вписан в окръжност със същия радиус (хубаво свойство на правилните шестоъгълници - доказва се лесно с централни ъгли). Съответно височината на търсената пирамида е половината от диагонала на куба - $B_1K_1 = \frac{BD}{2} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$. И това ни дефинира правилната шестоъгълна пирамида, чиито радиуси ще търсим.

Радиусът на описаната сфера реално съвпада с радиуса на описаната около $\triangle KB_1N$ окръжност. По питагорова теорема ще намерим околния ръб на нашата пирамида $B_1N = l = \sqrt{B_1K_1^2 + K_1N^2} = .. = \frac{\sqrt{5}a}{2}$. Оттам и по определението за синус имаме $sin\angle B_1NK_1 = \sqrt{\frac{3}{5}}$. Следователно $\boxed{R = \frac{l}{2sin\angle B_1NK_1} = \frac{5\sqrt{3}a}{12}}$

Радиусът на вписаната сфера ще намерим аналогично с помощтта на $\triangle PLB_1$. От това, че е височина в равностранния триъгълник, имаме $K_1L = \frac{\sqrt{3}b}{2} = \frac{\sqrt{6}a}{4}$. Оттам $PL = \frac{\sqrt{6}a}{2}$. По питагорова теорема намираме респективно $B_1L = \sqrt{B_1K_1^2 + K_1L^2} = ... = \frac{3\sqrt{2}a}{4}$.
Така имаме вече трите страни и височината към основата, остана да приложим формулите за лице $S = \frac{ah_a}{2} = pr$. В нашия случай:
$S = \frac{\frac{\sqrt{6}a}{2}.\frac{\sqrt{3}a}{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}a^2}{8} = r(\frac{3\sqrt{2}a}{2} + \frac{\sqrt{6}a}{4}) = \frac{a\sqrt{2}}{4}(6 + \sqrt{3}) \Rightarrow r = \frac{3a}{2(6 + \sqrt{3})} = \frac{3(6 - \sqrt{3})a}{2.33} => \boxed{r = \frac{a(6 - \sqrt{3})}{22}}$

П.П. Има твърде висока вероятност да съм пооцапал сметките някъде...

[KOPMOPAH]

Сечение на куб-2.png (13.66 KiB) Прегледано 334 пъти

Докато си играех с чертежа, Davids ме изпреварил. Няма какво да се добави към решението му, както обикновено.
Много добро впечатление прави фактът, че използва 3D Graphics функционалността на GeoGebra. Аз се придържам към старата 2D Graphics, защото там графичните възможности са по-добри.

Скрит текст: покажи

За любознателните естети, които искат да оформят задачата добре, т.е. да придружат решенията си с чертежи на "тромавата" GeoGebra, бих могъл да споделя в някоя тема (напр. LaTeX, Matlab, Maple, Mathematika...) опита си. Пишете