Вписана призма с максимален обем

[S.B.]

В правилна четириъгълна пирамида е вписана права призма с максимален обем,основата на която лежи в равнината на основата на пирамидата,а върховете на горната й основа лежат на околните ръбове на пирамидата.Да се намерят обема и околната повърхнина на призмата,ако основния ръб на пирамидата има дължина $a$ ,а ъгъла между два съседни околни ръба е [tex]\alpha[/tex].

[KOPMOPAH]

За начало - чертеж:

Вписана призма с максимален обем.png (12.81 KiB) Прегледано 405 пъти

[Davids]

По косинусова теорема от околна стена намираме околния ръб $l = \frac{a}{\sqrt{2(1-cos\alpha)}}$
По питагорова съответно височината на пирамидата: $h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{cos\alpha}{2(1 - cos\alpha)}}$
Елементите на призмата ще означим аналогично с примчета. Ще разгледаме отношението $\frac{a'}{a} = \frac{h - h'}{h} = 1 - \frac{h'}{h} \Rightarrow h' = \frac{(a - a')h}{a}$
Така обемът на призмата става $V = a'^2h' = a'^2.\frac{(a - a')h}{a}$.
Приемаме $a$ за константа, така или иначе изразяваме $a'$ като отношение към нея. Търсим само какво е това отношение така че обемът на призмата да е максимален, а отношението ще намерим чрез тригонометричните функции на $\alpha$. Следователно разглеждаме $h$ като параметър в числителя и търсим максималната му стойност (на числителя):
$f(a') = a'^2ah - a'^3h$
$f'(a') = -3ha'^2 + 2aha' = a'(2ah - 3ha')$
Локален максимум на функцията достигаме, където производната сменя знака си от положителен на отрицателен в интервала $(0; a)$ за променливата $a'$, т.е. при $a' = \frac{2a}{3}$. Намираме и височината на призмата $h' = \frac{h}{3}$

Оттам и максималният обем е равен на $V_{max} = \frac{4a^2}{9}.\frac{h}{3} = \frac{4}{27}a^3\sqrt{\frac{cos\alpha}{2(1 - cos\alpha)}} = \frac{2a^3\sqrt{cos\alpha}}{27sin\frac{\alpha}{2}}$

Скрит текст: покажи

$\alpha$ винаги ще е остър, така че нямаме проблеми

[S.B.]

По косинусова теорема от околна стена намираме околния ръб $l = \frac{a}{\sqrt{2(1-cos\alpha)}}$
По питагорова съответно височината на пирамидата: $h = \sqrt{l^2 - \frac{a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{cos\alpha}{2(1 - cos\alpha)}}$
Елементите на призмата ще означим аналогично с примчета. Ще разгледаме отношението $\frac{a'}{a} = \frac{h - h'}{h} = 1 - \frac{h'}{h} \Rightarrow h' = \frac{(a - a')h}{a}$
Така обемът на призмата става $V = a'^2h' = a'^2.\frac{(a - a')h}{a}$.
Приемаме $a$ за константа, така или иначе изразяваме $a'$ като отношение към нея. Търсим само какво е това отношение така че обемът на призмата да е максимален, а отношението ще намерим чрез тригонометричните функции на $\alpha$. Следователно разглеждаме $h$ като параметър в числителя и търсим максималната му стойност (на числителя):
$f(a') = a'^2ah - a'^3h$
$f'(a') = -3ha'^2 + 2aha' = a'(2ah - 3ha')$
Локален максимум на функцията достигаме, където производната сменя знака си от положителен на отрицателен в интервала $(0; a)$ за променливата $a'$, т.е. при $a' = \frac{2a}{3}$. Намираме и височината на призмата $h' = \frac{h}{3}$

Оттам и максималният обем е равен на $V_{max} = \frac{4a^2}{9}.\frac{h}{3} = \frac{4}{27}a^3\sqrt{\frac{cos\alpha}{2(1 - cos\alpha)}} = \frac{2a^3\sqrt{cos\alpha}}{27sin\frac{\alpha}{2}}$

Скрит текст: покажи

$\alpha$ винаги ще е остър, така че нямаме проблеми

Чудесно!!!
Само има още една малка подробност - освен обема,се търси и ОКОЛНАТА ПОВЪРХНИНА на призмата,която е :
[tex]S = \displaystyle \frac{4a^{2}}{9sin\displaystyle \frac{\alpha}{2}}\sqrt{cos\alpha}[/tex]
Но ...няма да се пазариме за още няколко реда!