Пирамида с основа трапец

[S.B.]

Пирамидата $ABCDF$ има за основа трапеца $ABCD$, на който диагоналът $AC$ е перпендикулярен на бедрото $BC$ и сключва с голямата основа $AB$ на трапеца ъгъл [tex]\alpha[/tex].Околните ръбове на пирамидата са равни по между си.Околната стена ,минаваща през основата $AB$ на трапеца има ъгъл при върха $F$ равен на $2\alpha$ и лице $S$.Намерете:
а) Обема на питамидата;
б)Лицето на сечението на пирамидата с равнина,минаваща през ръба $AB$ , ако тази равнина и срещулежащата й околна стена сключват с равнината на основата равни ъгли.

[Davids]

Щом околните ръбове са равни, значи центъра се проектира върху центъра на описаната окръжност, т.е. трапецът ни е равнобедрен. А щом диагоналът му е перпендикулярен на бедрото, значи центъра на описаната окръжност е средата на $AB$ и това е проекцията на върха.

PyramidStuff.png (20.75 KiB) Прегледано 1440 пъти

Започваме подред със стандартни означения. Първо имаме дадено лицето на околната стена $S_{ABF} = S$
1) $S = \frac{l^2sin2\alpha}{2} \Rightarrow l = \frac{\sqrt{2Ssin2\alpha}}{sin2\alpha}$
2) По определение за синус имаме $\frac{a}{2l} = sin\alpha \Rightarrow a = 2lsin\alpha$
Преминаваме в равнината на основата:
3) Бедрото $c$ намираме отново по определение за синус: $sin\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow c = asin\alpha$
4) Малката основа на трапеца намираме по синусова теорема за $\triangle ACD$:
$\frac{c}{sin\alpha} = \frac{b}{sin(90 - 2\alpha)} \Rightarrow b = \frac{c.cos2\alpha}{sin\alpha} = acos2\alpha$
5) Височината на основата намираме аналогично: $\frac{h_a}{c} = sin(90 - \alpha) \Rightarrow h_a = c.cos\alpha$
6) Лицето на основата вече можем да намерим:
$B = \frac{a + b}{2}.h_a = \frac{a + acos2\alpha}{2}.c.cos\alpha$
Заместваме $c$:
$B = \frac{a}{2}(1 + cos2\alpha).asin\alpha cos\alpha = a^2.\frac{\cancel{1} + \cancel{2}cos^2\alpha - \cancel{1}}{\cancel{2}}.sin\alpha cos\alpha = a^2cos^3\alpha sin\alpha$
Заместваме $a$:
$B = 4l^2sin^2\alpha cos^3\alpha sin\alpha = l^2.4sin^3\alpha cos^3\alpha$
Заместваме $l$:
$B = \frac{2S}{sin2\alpha}.4sin^3\alpha cos^3\alpha = \frac{S}{sin2\alpha}.sin^32\alpha = \boxed{B = Ssin^22\alpha}$

7) Остана да намерим височината на пирамидата, което е повече от лесно отново по дефиниция на косинус $h = lcos\alpha$.
8) Окончателно обемът е $V = \frac{h}{3}B = \frac{\sqrt{2Ssin2\alpha}}{3sin2\alpha}B = \frac{\sqrt{2Ssin2\alpha}}{3\cancel{sin2\alpha}}.Ssin^{\cancel{2}}2\alpha$
$\Rightarrow \boxed{V = \frac{1}{3}Ssin2\alpha\sqrt{2Ssin2\alpha}}$

б) Означил съм равните ъгли с $\varphi$.

PyramidStuff2.png (53.9 KiB) Прегледано 1440 пъти

1) Ще разгледаме $\triangle HGF$. Имаме $\angle GHF = 90 - \varphi$. Но от правоъгълния $\triangle MFH$ имаме също $\angle HFG = 90 - \varphi = \angle GHF$. Оттам следва, че $GF = GH = GM$, следователно $HG$ е медиана към хипотенузата в правоъгълния $\triangle MFH$. Което веднага ни дава $KL = \frac{1}{2}b$.
2) Остана да намерим височината на сечението $h_s = GH = \frac{1}{2}MF$.
3) Но $MF = \sqrt{MH^2 + FH^2} = \sqrt{h_a^2 + h^2} = \sqrt{c^2cos^2\alpha + l^2cos^2\alpha} = cos\alpha \sqrt{c^2 + l^2} = cos\alpha \sqrt{4l^2sin^4\alpha + l^2} = lcos\alpha \sqrt{4sin^4\alpha + 1}$.
Следователно $h_s = \frac{1}{2}lcos\alpha \sqrt{4sin^4\alpha + 1}$

4) Остана да намерим лицето на сечението:
$S_s = \frac{a+\frac{1}{2}b}{2}.h_s = \frac{2a + acos2\alpha}{4}.h_s = \frac{1}{4}a(2 + cos2\alpha)h_s = \frac{1}{8}.2lsin\alpha.(2 + cos2\alpha).lcos\alpha \sqrt{4sin^4\alpha + 1} = \frac{1}{8}.l^2.2sin\alpha cos\alpha.(2 + cos2\alpha).\sqrt{4sin^4\alpha + 1}$

Заместваме $l^22ins\alpha cos\alpha = l^2sin2\alpha = \frac{2S}{sin2\alpha}.sin2\alpha = 2S$ и окончателно получаваме:
$\boxed{S_s = \frac{S}{4}.(2 + cos2\alpha)\sqrt{4sin^4\alpha + 1}}$

П.П. Знам, че принципно не е хубаво да се оставят сборове в отговора, но изразяването като произведения според мен е излишно усложнение на и без това така достатъчно хубавия отговор

Вложих около 3 часа в цялостната изработка на задачата, този път по-внимателно за грешки. Смятам, че няма. Но все пак, it's been a long run, така че е доста възможно някъде из тая комплексна схема нещо да понакуцва. Тежичка задачка

[S.B.]

Вложих около 3 часа в цялостната изработка на задачата......... Тежичка задачка

Аз мислех да доставя удоволствие на колегите си с тази задчка,а то...