Правоъгълен паралелепипед вписан в пирамида

[S.B.]

Без заглавие - 2019-03-14T142342.315.png (249.86 KiB) Прегледано 456 пъти

За основа на пирамида служи квадрат със страна $b$.Две околни стени на пирамидата са перпендикулярни към основата ,а по-големият й основен ръб е наклонен към основата под ъгъл [tex]\beta[/tex].В пирамидата е вписан правоъгълен паралелепипед така,че четири от върховете му лежат върху околните ръбове на пирамидата,а другите четири - върху основата на пирамидата.Определете обема на паралелепипеда ,ако диагоналът му образува с равнината на основата ъгъл равен на $\alpha$.

[Davids]

Ще означим страната на основата на паралелепипеда с $a$, а височината му с $h$. Височината на пирамидата ще кръстим $H$, а най-големия му околен ръб ще е $l$.
Тогава по определение за косинус имаме $cos\beta = \frac{\sqrt{2}b}{l} \Rightarrow l = \frac{\sqrt{2}b}{cos\beta}$
По дефиниция за тангенс имаме $tg\alpha = \frac{h}{\sqrt{2}a} \Rightarrow h = \sqrt{2}atg\alpha$ и също аналогично $H = \sqrt{2}btg\beta$
Ще означим $BL_1 = x$, тогава $FL_1 = l - x$. От подобни триъгълници имаме:
$\triangle K_1L_1F \sim \triangle ABF \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{l - x}{l}$
$\triangle D_1L_1F \sim \triangle DBF \Rightarrow \frac{H -h}{H} = \frac{l - x}{l}$

Приравняваме левите страни и получаваме:
$a = b(1 - \frac{h}{H}) = b(1 - \frac{\sqrt{2}atg\alpha}{\sqrt{2}btg\beta})$
$atg\beta = btg\beta - atg\alpha$
$\Rightarrow a = \frac{btg\beta}{tg\alpha + tg\beta} = \frac{btg\beta}{\frac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha cos\beta}} = \frac{bsin\beta cos\alpha}{sin(\alpha + \beta)}$

И окончателно обемът на паралелепипеда е
$V = a^2h = \sqrt{2}a^3tg\alpha = \sqrt{2}tg\alpha.\frac{b^3sin^3\beta cos^3\alpha}{sin^3(\alpha + \beta)} = \sqrt{2}b^3\frac{sin^3\beta sin\alpha cos^2\alpha}{sin^3(\alpha + \beta)}$

[KOPMOPAH]

Добра задача! Всъщност паралелепипедът от задачата е една правилна четириъгълна призма.
Би било интересно да се поумува по въпроса кога отношението на обема на призмата към обема на пирамидата е най-голямо

Скрит текст: покажи

Само да не излезем от рамките на материала за средния курс...

[S.B.]

Ще означим страната на основата на паралелепипеда с $a$, а височината му с $h$....

Паралелепипеда има 3 измерения - дължина,широчина и височина.Никъде в задачата не е казано,че основата му е квадарат.Това трябва да се докаже.
Нека измеренията са $KL = x,KD = y ,DD_{1 } = z$ и височината на пирамидата $DF = h$
[tex]\triangle DCF \approx D_{1 }M_{1 }F \Rightarrow \frac{D_{1 }M_{1 }}{DC} = \frac{FD_{1 }}{FD} \Rightarrow \frac{x}{b} = \frac{h - z}{h}[/tex] или $ x = b.\frac{h - z}{h}$
[tex]\triangle ADF \approx K_{1 }D_{1 }F \Rightarrow \frac{D_{1 }K_{1 }}{AD} = \frac{FD_{1 }}{FD} \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{h - z}{h}[/tex] или $ y = b.\frac{h - z}{h}$
$\Rightarrow x = y$ или основата на паралелепипеда е квадрат със страна $x$
От $ \triangle LDD_{1 } : DD_{1 } = z = x\sqrt{2}tg\alpha$ , от $\triangle L_{1 }LB : LL_{1 } = z = (b\sqrt{2} - x\sqrt{2})tg\beta$
Приравнявам и получавам : $x\sqrt{2}tg\alpha = (b - x)\sqrt{2}tg\beta \Leftrightarrow x(tg\alpha + tg\beta) = btg\beta$
$ \Rightarrow x = \frac{btg\beta}{tg\alpha + tg\beta} ; z = x\sqrt{2}tg\alpha = \frac{b\sqrt{2}tg\beta tg\alpha}{tg\alpha + tg\beta}$
$ V = (\frac{btg\beta}{tg\alpha + tg\beta})^{2}. \frac{b\sqrt{2}tg\alpha tg\beta}{tg\alpha + tg\beta} = \frac{b^{3}\sqrt{2}tg^{3}\beta tg\alpha}{(tg\alpha + tg\beta)^{3}}$

[Davids]

Ще означим страната на основата на паралелепипеда с $a$, а височината му с $h$....

Паралелепипеда има 3 измерения - дължина,широчина и височина.Никъде в задачата не е казано,че основата му е квадарат.Това трябва да се докаже.

Не е ли достатъчен по-тривиалният факт, че горната основа на паралелепипеда реално е сечение на призмата с равнина, успоредна на основата й, следователно това сечение винаги ще е квадрат, оттам и долната основа на паралелепипеда винаги е квадрат. Не съм го описвал, но сметнах, че за аудиторията тук ще е достъпно допускане