Хашек

[KOPMOPAH]

...Друг пък непрекъснато беше стегнат в усмирителна риза, за да не може да пресметне кога ще настане краят на света. Там се срещнах и с няколко професори. Един от тях ходеше все след мене и разправяше, че люлката на циганите била в Кърконошите, друг пък ми обясняваше, че вътре в земното кълбо имало още едно, много по-голямо от външното.
Там всеки можеше да си говори, каквото му скимне, просто каквото му дойде на езика, като че ли се намираше в парламента...
Глава "Швейк го изхвърлят от лудницата" от великата книга "Приключенията на добрия войник Швейк през Световната война"

Всъщност, през куб с ръб $1$ може да се издълбае отвор, през който изцяло да може да премине сфера с диаметър, по-голям от $1$. Въпрос - колко е този диаметър?

[Евва]

През куб с ръб 1 метър може да се издълбае отвор,през който изцяло да премине сфера с диаметър по-голям от
1 дециметър .

[S.B.]

През куб с ръб 1 метър може да се издълбае отвор,през който изцяло да премине сфера с диаметър по-голям от
1 дециметър .

Мисля,че $1$ е дадено като условна мярка.Или греша?

[S.B.]

Без заглавие (10).png (212.69 KiB) Прегледано 524 пъти

Всъщност, през куб с ръб $1$ може да се издълбае отвор, през който изцяло да може да премине сфера с диаметър, по-голям от $1$. Въпрос - колко е този диаметър?

Ако се построи равнина през точките $A,C,B_{1 }$ ще се получи сечението равностранен [tex]\triangle ACB_{1 }[/tex] със страна $= \sqrt{2}$
Сраната на равностранния триъгълник [tex]b = \sqrt{2}[/tex]
Тъй като връзката между страната на равностранния триъгълник и диаметъра на вписаната в него окръжност е [tex]b = 2r\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{2} = 2r\sqrt{3} \Rightarrow 2r = \frac{\sqrt{6}}{3} < 1[/tex] то това не ни върши работа.Но в задачата е казано " да се издълбае" - т. е. ако вместо диаметъра на вписаната окръжност вземем диаметъра на описаната окръжност,който да "издълбаем" около триъгълника няма да излезем от рамките на куба тъй като издълбаните дъги ще са в стените на куба и тогава :
[tex]b = R\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{2} = R\sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{6}}{3} \Rightarrow 2R = \frac{2\sqrt{6}}{3} > 1[/tex]
П.П. Не съм много сигурна , все пак зависи от това какво е имал предвид KOPMOPAH...

[S.B.]

П.П. Не съм много сигурна , все пак зависи от това какво е имал предвид KOPMOPAH...

Ох...съвсем не съм сигурна!От мен явно стругар не става...Иде ми да си изтрия мнението или просто да се откажа!

[KOPMOPAH]

Жокер - има едно сечение на куба, което е правилен шестоъгълник, а в него може да се впише окръжност

[S.B.]

Жокер - има едно сечение на куба, което е правилен шестоъгълник, а в него може да се впише окръжност

Мерси за жокера,но язък за куба!

[S.B.]

Без заглавие (14).png (230.93 KiB) Прегледано 453 пъти

Върховете на шестоъгълника са среди на 6 -те ръба (на чертежа се вижда кои).
[tex]b_{6 } = \frac{2r\sqrt{3}}{3} ,b_{6 } = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2r\sqrt{3}}{3} \Rightarrow 2r = \frac{\sqrt{6}}{2} > 1[/tex]
Извинявам се за допотопния чертеж,но бързам ужасно много!!!

[KOPMOPAH]

Браво на S.B.!
Истинските виртуози на стереометрията биха намерили обема на тялото, което би останало от куба, когато от него се изреже цилиндърът с диаметър $\frac {\sqrt 6}2$.

[S.B.]

Без заглавие (15).png (291.03 KiB) Прегледано 420 пъти

Браво на S.B.!
Истинските виртуози на стереометрията биха намерили обема на тялото, което би останало от куба, когато от него се изреже цилиндърът с диаметър $\frac {\sqrt 6}2$.

В равнината $ABCD$ : телесния диагонал $DB_{1 }$ се проектира върху $DB$ , [tex]DB\bot AC[/tex] по трите перпендикуляра $DB_{1 }\bot AC$, т.$L ,M$ - среди на $AB ,BC \Rightarrow LM ||AC \Rightarrow LM \bot DB_{1 }$
Аналогично в стената $DCC_{1 }D_{1 }$ получавам, че $PN\bot DB_{1 }$
$PN$ и $LM$ се пресичат извън куба (не съм начертала прес.точка за да не препълвам чертежа)
$\Rightarrow DB_{1 } \bot$ на две пресичащи се прави от шестоъгълника $DB_{1 }\bot KLMNPQ$
Имаме две пирамиди с обща основа $KLMNPQB_{1 } $ и $KLMNPQD$
Обема на това тяло е :[tex]V_{т } = \frac{DB_{1 }}{3}.S_{KLMNPQ }[/tex] ,където $DB_{1 } = \sqrt{3}$
Трябва да извадим от него обема на цилиндър с диаметър $\frac{\sqrt{6}}{2}$.Но тъй като с този диаметър единствено се вписва окръжност в шестоъгълника,не би могло да се впише цилиндър в тялото,защото горната основа на цилиндъра е много голяма и не може да се впише.За това цилиндъра се проектира в кръг,вписан в шестоъгълника,лицето на който ще трябва да извадим от лицето на шестоъгълника:
$S_{KLMNPQ } = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ при страна на шестоъгълника $\frac{\sqrt{2}}{2}$ Обема на цялото тяло е $V_{т } = \frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 $ от обема на куба.Т. е. частта от куба,която е извън това тяло е $0,25$
Повърхнината на кръга с диаметър $\frac{\sqrt{6}}{2}$ е : $S_{кръга } = \frac{3\pi}{8}$ ,а разликата между повърхнината на шестоъгълника и кръга е:
[tex]\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\pi}{8} = \frac{3(2\sqrt{3} - \pi)}{8}[/tex]
Тогава обема на тялото като се изключи "цилиндъра" ,който е само кръг става $V = \frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{3(2\sqrt{3} - \pi)}{8} = \frac{6 - \pi\sqrt{3}}{8} \approx 0,0701$
Като се прибави и частта която е извън тялото и е $0,25$ се получава $0,25 + 0,0701 = 0,3201$ e остатъка от куба.

Скрит текст: покажи

Не съм "виртуоз" в стереометрията,а просто много я обичам!Дано да съм спазила логиката на задачата и да не съм оплескала сметките!