Ротационно тяло

[S.B.]

Ротационно тяло

Без заглавие (78).png (277.29 KiB) Прегледано 402 пъти

Да се определи повърхнината на тяло,което се получава от въртенето на квадрат със страна равна на $a$ около права,която минава през един негов връх и сключва със страната му ъгъл равен на [tex]\alpha[/tex].Как се изменя повърхнината,когато ъгълът расте от $0^\circ$ до $45^\circ$?

[KOPMOPAH]

Главата ми се завъртя от толкова повърхнини
Поздравления за чертежа

Повърхнината на въпросното ротационно тяло се състои от:
$~~~~~~~-$ околната повърхнина $S_I$ на конус с образувателна $a$ и радиус $$AO=a\cos \alpha \Rightarrow S_I=\pi a^2 \cos \alpha$$
$~~~~~~~-$ околната повърхнина $S_{II}$ на пресечен конус с образувателна $a$ и радиуси $$AO=a\cos \alpha,\,DO_2=a\cos \alpha+a\sin \alpha \Rightarrow S_{II}=\pi a(a\cos \alpha+a\cos \alpha+a\sin \alpha)=\pi a^2(2\cos \alpha+\sin \alpha)$$
$~~~~~~~-$ околната повърхнина $S_{III}$ на пресечен конус с образувателна $a$ и радиуси $$DO_2=a\cos \alpha+a\sin \alpha, \, CO_1=a\sin \alpha \Rightarrow S_{III}=\pi a (a\sin \alpha+a\cos \alpha+a\sin \alpha)=\pi a^2(2\sin\alpha+\cos\alpha)$$
$~~~~~~~-$ околната повърхнина $S_{IV}$ на конус с образувателна $a$ и радиус $$CO_1=a\sin \alpha,\, \Rightarrow S_{IV}=\pi a^2 \sin \alpha$$
Като съберем най-после четирите повърхнини получаваме:$$S_{I}+S_{II}+S_{III}+S_{IV}=4\pi a^2(\sin \alpha+\cos \alpha)$$
Имайки предвид, че $$\sin \alpha+ \cos \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)$$окончателно получаваме $$S_{I}+S_{II}+S_{III}+S_{IV}=4\sqrt{2}\pi a^2 \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)$$