Пресечен конус

[veriti79]

Моля за помощ!
В прав кръгов пресечен конус е вписана сфера. Да се докаже, че повърхнината на вписаната сфера е 2([tex]\pi[/tex]l - Q), където l е дължината на образувателната му, а Q сборът на лицата на основите му.

[S.B.]

Без заглавие (89).png (273.97 KiB) Прегледано 395 пъти

Моля за помощ!
В прав кръгов пресечен конус е вписана сфера. Да се докаже, че повърхнината на вписаната сфера е 2([tex]\pi[/tex]l - Q), където l е дължината на образувателната му, а Q сборът на лицата на основите му.

Имате грешка в условието!Трабва да се докаже ,че повърхнината на сферата е = [tex]2(\pi l^{2}- Q)[/tex] , а не $2(\pi l - Q)$!
Ако т.$O$ е центърът на сферата,то $\angle COB = 90^\circ $
$(\angle C + \angle B = 180^\circ$ ,$CO$ и $BO$ са ъглополовящи $\Rightarrow \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2}\angle B = 90^\circ)$
$NC = CT = r_{1 } , MB = BT = r_{2 } $
По Питагор за $\triangle BOC \Rightarrow OT^{2} = R^{2} = r_{1 }.r_{2 }$
$ Q = \pi r_{1 }^{2} + \pi r_{2 }^{2} = \pi (r_{1 }^{2} + x_{2 }^{2})$
От $\triangle HBC$ по Питагор $HC^{2} = BC^{2} - HB^{2} \Leftrightarrow (2R)^{2} = l^{2} - (r_{2 } - r_{1 })^{2} \Leftrightarrow 4R^{2} = l^{2} - (r_{2 }^{2} - 2r_{1 }r_{2 } + r_{1 }^{2}) \Leftrightarrow$
$4R^{2} = l^{2} - (r_{1 }^{2} + r_{2 }^{2}) + 2r_{1 }r_{2 }$ ( умножавам двете страни по $\pi \ne 0$) и получавам:
$4\pi R^{2} = \pi l^{2} - \pi (r_{1 }^{2} + r_{2 }^{2}) + 2\pi r_{1 }r_{2 }$ Замествам и получавам:

$4\pi R^{2} = \pi l^{2} - Q + 2\pi R^{2} \Leftrightarrow 2\pi R^{2} = \pi (l^{2} - Q)$
Понеже формулата за повърхнина на сфера е $S = 4\pi R^{2}$ умножавам двете страни по $2$ и получавам:
$$4\pi R^{2} = 2\pi ( l^{2} - Q) $$

[S.B.]

$4\pi R^{2} = \pi l^{2} - Q + 2\pi R^{2} \Leftrightarrow 2\pi R^{2} = \pi (l^{2} - Q)$
Понеже формулата за повърхнина на сфера е $S = 4\pi R^{2}$ умножавам двете страни по $2$ и получавам:
$$4\pi R^{2} = 2\pi ( l^{2} - Q) $$

Допуснала съм грешка при набирането:
[tex]4\pi R^{2} = \pi l^{2} - Q + 2\pi R^{2} \Leftrightarrow 2\pi R^{2} = \pi l^{2} - Q[/tex] Понеже формулата за повърхнина на сфера е $4\pi R^{2}$ умножавам двете страни по $2$ и получавам:
$$ 4 \pi R^{2} = 2(\pi l^{2} - Q)$$
Моля за извинение!

[KOPMOPAH]

Чертежът е перфектен! Решението също е на висота. По повод бързането припомням максимата на шопите:-"Който бръза - бръка!"