Вписан цилиндър

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Без заглавие (17).png (398.84 KiB) Прегледано 611 пъти

В куб с ръб $a$ е вписан цилиндър,така, че неговата ос лежи на телесния диагонал на куба, а равнините на основите му минават през три върха на куба.Намерете лицето на околната повърхнина на цилиндъра
Отг. [tex]S = \frac{\sqrt{2}}{3}\pi a^{2}[/tex]

[Davids]

Не можах много да се ориентирам по чертежа... нито по условието. Как така равнините на основите му минават през три върха на куба?

[S.B.]

Не можах много да се ориентирам по чертежа... нито по условието. Как така равнините на основите му минават през три върха на куба?

Всяка равнина се определя от 3 точки нележащи на една права. Основите на цилиндъра също са равнини,нали? Макар,че са окръжности те ПРИНАДЛЕЖАТ на равнини... Чертежът е по-скоро "декоративен" и няма претенции да подсказва решението на задачата,за това е сложен под спойлер.

[Davids]

Ох, това, което пораждаше объркването, беше, че си мисля за прав кръгов цилиндър, а пък е даден просто конус... Ясно, като се прибера, ще се позанимавам

[S.B.]

Ох, това, което пораждаше объркването, беше, че си мисля за прав кръгов конус, а пък е даден просто конус... Ясно, като се прибера, ще се позанимавам

Davids, започвам да си мисля,че ти просто си влюбен! Не става въпрос за КОНУС , а за ЦИЛИНДЪР!

[Davids]

Ох, това, което пораждаше объркването, беше, че си мисля за прав кръгов конус, а пък е даден просто конус... Ясно, като се прибера, ще се позанимавам

Davids, започвам да си мисля,че ти просто си влюбен! Не става въпрос за КОНУС , а за ЦИЛИНДЪР!

Обърках просто думичкитеее! Поправено, не се е случвало

[S.B.]

Без заглавие (18).png (368.66 KiB) Прегледано 569 пъти

[KOPMOPAH]

Цилиндър в куб.png (18.02 KiB) Прегледано 553 пъти

Тъй като не знам дължината на отсечката $O_1O_2$ (явяваща се височина на цилиндъра), намирам $BO_2$ и $O_1D$ от обемите на пирамидите $ABCB_1$ и $DC_1D_1A_1$ съответно, като ги изразявам веднъж чрез трите перпендикулярни околни ръба и втори път чрез лицето на триъгълните сечения и търсените отсечки. Вадя сумата им от $BD_1$ и по този начин намирам образувателната на цилиндъра.
Равнините през върховете отсичат равностранни триъгълници. Окръжностите, вписани в тези триъгълници, са основите на цилиндъра. Радиусът $O_2J$ е $\frac 13$ от $C_1J$, нататък кълбото се разплита.

[S.B.]

Без заглавие (33).png (307.68 KiB) Прегледано 547 пъти

Все пак,добре е когато кълбото се разплете до края и се получи отговор
Основите на цилиндъра са кръгове, вписани в равнините определени от [tex]D_{1 }CB_{1 }[/tex] и $A_{1 }DB$ които са равностранни триъгълници със страна $a\sqrt{2}$.(Като диагонали на стените на куба)Пирамидите $D_{1 }CB_{1 }C_{1 }$ и $A_{1 }DBA$ са еднакви и имат еднакви височини.Образувателната на цилиндъра се получава,когато от дължината на телесния диагонал извадим двете височини $O_{1 }C_{1 } = OA$
В $\triangle D_{1 }CB_{1 } \rightarrow $
$ R = \frac{2}{3}.a\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{3} $ (Радиус на описаната окръжност)
$ r = \frac{1}{3}a\sqrt{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$ (радиус на вписаната окръжност - $r$ на основата на цилиндъра)
$C_{1 }O_{1 } = \sqrt{D_{1 }C_{1 }^{2} - R^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{6a^{2}}{9}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
$OO_{1 } = AC_{1 } - 2.OC_{1 } = a\sqrt{3} - 2\frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
$S_{ок } = 2\pi r.OO_{1 } = 2\pi \frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{a\sqrt{3}}{3} = \pi a^{2}\frac{\sqrt{2}}{3}$