За любителите на сеченията в куб

[S.B.]

Без заглавие (42).png (369.77 KiB) Прегледано 474 пъти

Четири успоредни ръба на куб са оси на цилиндри.Да се намери повърхнината на тялото,което е обща част за четирите цилинтъра ,ако ръбът на куба и радиусите на цилиндрите са равни на $a$.

[KOPMOPAH]

Куб и пресичащи се цилиндри-2.png (101.88 KiB) Прегледано 443 пъти

Триъгълник $\triangle ABP$ е равностранен, следователно $\overset{\displaystyle \frown}{AP}=60^\circ$

Доколкото $\overset{\displaystyle \frown}{AB_1}=90^\circ$, получаваме $\overset{\displaystyle \frown}{PB_1}=30^\circ$. По същия начин намираме $\overset{\displaystyle \frown}{AQ}=30^\circ$ и $\overset{\displaystyle \frown}{QP}=30^\circ$.

Дължината на дъгата $QP$ е $\frac{\pi.a}{180^\circ}.30^\circ=\frac{\pi.a}6$

По косинусова теорема намираме дължината на хордата $QP$: $$x^2=a^2+a^2-2a^2 \cos 30^\circ \\ x^2=a^2(2-\sqrt 3)$$Лицето на сегмента, затворен между хордата $QP$ и дъгата $\overset{\displaystyle \frown}{QP}$ е $$S_{сегмент}=a^2\Big({\pi \over 360^\circ}.30^\circ-{\sin 30^\circ \over 2}\Big)=a^2\Big({\pi \over 12}+{1 \over 4}\Big)$$

Лицето на криволинейния квадрат $MQPN$ се състои от четири сегмента с лице $a^2\Big({\pi \over 12}+{1 \over 4}\Big)$ и един квадрат със страна $x$, следователно$$S_{MQPN}=4.a^2\Big({\pi \over 12}+{1 \over 4}\Big)+a^2(2-\sqrt 3)=a^2\Big({\pi \over 3}+3-\sqrt 3\Big)$$Околните стени на сечението на цилиндрите са четири, всяка с лице $\frac{\pi.a^2}6$

Събираме лицата на двете основи и четирите околни стени и става: $$2a^2\Big({\pi \over 3}+3-\sqrt 3\Big)+4\frac{\pi.a^2}6=...$$

[S.B.]

Събираме лицата на двете основи и четирите околни стени и става: $$2a^2\Big({\pi \over 3}+3-\sqrt 3\Big)+4\frac{\pi.a^2}6=...$$

$$ ...= 2a^{2}(1 + \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$$
Благодаря на KOPMOPAH за вниманието!