Описан цилиндър

[S.B.]

Около правилна четириъгълна пирамида,всеки ръб на която има дължина $a$ ,е описан цилиндър,така,че всичките върхове на пирамидата лежат на окръжностите на цилиндъра.Да се намери обема и околната повърхнина на цилиндъра.

[S.B.]

Без заглавие (14).png (295.76 KiB) Прегледано 350 пъти

Около правилна четириъгълна пирамида,всеки ръб на която има дължина $a$ ,е описан цилиндър,така,че всичките върхове на пирамидата лежат на окръжностите на цилиндъра.Да се намери обема и околната повърхнина на цилиндъра.

Разглеждам сечението $KLMN$ .Нека[tex]\angle PMQ = \varphi \Rightarrow \angle QML = 90^\circ - \varphi[/tex]
От равностранните триъгълници $\triangle AMD ,\triangle BMC$ със страна $a \rightarrow PM = QM= \frac{a\sqrt{3}}{2}$
а от квадрата $ABCD$ със страна $a \rightarrow PQ = a$
За $\triangle PMQ$ Прилагам косинусова теорема [tex]\rightarrow а^{2} = 2 (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}(1 - cos\varphi) \Rightarrow cos\varphi = \frac{1}{3}[/tex] ,респективно $sin\varphi = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
За $\triangle MQL \rightarrow \frac{ML}{MQ} = cos(90^\circ - \varphi ) \Leftrightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.sin\varphi \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$
За $\triangle AMD$ който е вписан в окръжността на горната основа $\rightarrow R = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
[tex]V_{цил } = \pi R^{2}.h = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{3})^{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex]
$$V = \frac{\pi a^{3}\sqrt{6}}{9}$$

[tex]S_{ок } = 2\pi . R. h = 2\pi.\frac{a\sqrt{3}}{3}. \frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex]
$$S_{ок } = \frac{2\pi.а^{2}\sqrt{2}}{3}$$