Пирамида вписана в конус

[S.B.]

В конус е вписана триъгълна пирамида,така че основата на пирамидата е вписана в основата на конуса,а върхът й лежи върху образувателната на конуса.Околните стени на пирамидата сключват равни ъгли с основата й ,която е равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха [tex]\alpha , (\alpha \ge \frac{\pi}{3})[/tex]Да се намери отношението на обемите на конуса и пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие (40).png (356.06 KiB) Прегледано 392 пъти

В конус е вписана триъгълна пирамида,така че основата на пирамидата е вписана в основата на конуса,а върхът й лежи върху образувателната на конуса.Околните стени на пирамидата сключват равни ъгли с основата й ,която е равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха [tex]\alpha , (\alpha \ge \frac{\pi}{3})[/tex]Да се намери отношението на обемите на конуса и пирамидата.

Щом основата на пирамидата е триъгълник вписан в основата на конуса,то върхът на конуса $Q$ се проектира върху центъра на описаната около $\triangle ABC$ окръжност т.$O$ , а щом околните стени на пирамидата сключват равни ъгли с основата й то върхът $D$ на пирамидата се проектира върху центъра на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност т.$J$
Ще изразя обемите на двете тела чрез радиуса на основата на конуса и $\angle ACB = \alpha , \alpha \ge \frac{\pi}{3}$
Конус:
[tex]V = \frac{\pi R^{2}}{3}.OQ[/tex] ,$ \varphi$ - ъгъл между образувателната и основата на конуса
От $\triangle COQ \rightarrow \frac{QO}{CO} = tg\varphi \Leftrightarrow QO = Rtg\varphi$
$$V = \frac{\pi R^{3} tg\varphi}{3}$$
Пирамида :
[tex]V = \frac{S_{ABC }.JD}{3}[/tex]
За $\triangle ABC$ по синусова теорема получавам : при $AB = a ,AC = BC = b$
[tex]\frac{a}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R sin\alpha[/tex] , [tex]\displaystyle \frac{b}{sin(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \displaystyle \frac{\alpha}{2})} = 2R \Rightarrow b = 2R.cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}[/tex]
$S_{ABC } = \frac{a.b^{2}}{4R} = 2R^{2}sin\alpha .cos^{2}\frac{\alpha}{2}$
От основата :$NC = b - \frac{a}{2} \Leftrightarrow NC = 2Rcos\frac{\alpha}{2}(1 - sin\frac{\alpha}{2})$
$\displaystyle \frac{NC}{JC} = cos\frac{\alpha}{2} \Rightarrow JC =\displaystyle \frac{NC}{cos\displaystyle \frac{\alpha}{2}} \Rightarrow JC = 2R(1 - sin\frac{\alpha}{2})$
От конуса ,от $\triangle DCJ \rightarrow \frac{DJ}{JC} = tg\varphi \Rightarrow DJ = 2R(1 - sin\frac{\alpha}{2})tg\varphi$
$$V_{ABCD } =\displaystyle \frac{4R^{3}.sin\alpha.cos^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}(1 - sin\displaystyle \frac{\alpha}{2}).tg\varphi}{3}$$
$$\frac{V_{ к}}{V_{п }} = \frac{\pi}{4sin\alpha.cos^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}(1 - sin\displaystyle \frac{\alpha}{2})}$$