Осем сфери в една сфера

[S.B.]

В сфера с радиус $R$ са вписани 8 еднакви сфери,всяка от които се допира до 3 от тях и до дадената.Да се намери обемът на една от тези сфери ,ако центровете им са върхове на куб.

Скрит текст: покажи

Отг. [tex]\frac{8\pi R^{3}}{81}(3\sqrt{3} - 5)[/tex],който аз за съжаление не получавам

[KOPMOPAH]

За радиус на малките сфери получих $$r=R \frac{\sqrt 3-1}2$$ няма откъде да излезе $81$ в знаменателя.

[S.B.]

Без заглавие (83).png (378.84 KiB) Прегледано 497 пъти

За радиус на малките сфери получих $$r=R \frac{\sqrt 3-1}2$$ няма откъде да излезе $81$ в знаменателя.

Най-сърдечно благодаря на KOPMOPAH!

Ето и решението и чертежа:
На чертежа е изобразено диагоналното сечение на куб с върхове $O_{1 }...O_{8 }$ ,които са центрове на сфери с радиус $r$,всяка от които се допира външно до 3 сфери ,а в точките $A,B,C,D, A_{1 },B_{1 }C_{1 }D_{1 }$ се допират до сфера с център $O$ и радиус $R$
Страната на куба е [tex]O_{1 }O_{2 } = 2r \Rightarrow[/tex] телесния диагонал $O_{1 }O_{7 } = 2r\sqrt{3}$ ,който е диаметър на описаната около куба $O_{1 } ...O_{8 }$ сфера.Диаметъра на описаната около тялото получено от 8-те сфери с центрове върховете на куба е
$AC_{1 } = 2R = 2r\sqrt{3} + 2r = 2r(\sqrt{3} + 1) \Rightarrow r = R\frac{(\sqrt{3} - 1)}{2}$

Тогава обема на една сфера е: $V = \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3} \pi R^{3} (\frac{(\sqrt{3} - 1)}{2})^{3} = \frac{4}{3}\pi R^{3}\frac{2(3\sqrt{3} - 5)}{8}$
$$V = \frac{\pi R^{3}}{3} (3\sqrt{3} - 5)$$

[S.B.]

Страната на куба е [tex]O_{1 }O_{2 } = 2r \Rightarrow[/tex] телесния диагонал $O_{1 }O_{7 } = 2r\sqrt{3}$ ,който е диаметър на описаната около куба $O_{1 } ...O_{8 }$ сфера.

Да се чете : Ръбът на куба е [tex]O_{3 }O_{7 } = 2r \Rightarrow[/tex] телесният диагонал $O_{1 }O_{7 } = 2r\sqrt{3}$(който е и диаметър на описаната около около куба $O_{1 }...O_{8 }$ сфера).