Ротационно тяло

[S.B.]

Правоъгълен триъгълник с хипотенуза $c$ и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex] се върти около ъглополовящата на външния му прав ъгъл.Да се намери обема на полученото ротационно тяло.

Скрит текст: покажи

Отг.$ \frac{\pi c^{3}}{6}sin2\alpha sin(\alpha + \frac{\pi}{4})$

[Sup3rlum]

Ето картинка:

Screenshot_3.png (12.12 KiB) Прегледано 785 пъти

Ако хипотенузата е $c$, двата катета са:

$a=c.cos\alpha$
$b=c.sin\alpha$

Ако построим сегмент $h$ перпендикулярен на ъглополовящата, минаващ през точка $B$, дължината му ще е $\frac{1}{\sqrt{2}}a$
И сегмент $l$ с дължина $l=\frac{1}{\sqrt{2}}b$

Правата която минава през $c$ е с формула $y=tan\alpha.x+b$.

Пресича се с ъглополовящата:

$x=tan\alpha.x+b$
$x(1-tan\alpha)=b$

$x=\frac{b}{1-tan\alpha}$

$CF=\sqrt{2}\frac{b}{1-tan\alpha}=\sqrt{2}\frac{b}{1-\frac{b}{a}}=\sqrt{2}\frac{ab}{a-b}=\sqrt{2}\frac{ab.(a+b)}{a^2-b^2}=\frac{c.sin2\alpha.sin(\alpha+45^\circ)}{cos2\alpha}$

Ако обозначим с $V_{XYZ}$ обема на конуса получин от завъртането на триъглник $XYZ$ около ъглополовящата.

$V_{ABC}=V_{EFB}-V_{ECB}-V_{CGA}-V_{GFA}=\frac{\pi}{3}(h^2.EF-h^2.EC-l^2.CG-l^2.GF)$
$V_{ABC}=\frac{\pi}{3}(h^2.CF-l^2.CF)=\frac{CF.\pi}{3}(h^2-l^2)$

$V_{ABC}=\frac{CF.\pi}{6}(a^2-b^2)=\frac{CF.\pi.c^2}{6}(cos2\alpha)=\frac{\pi c^2}{6}cos2\alpha.CF=\frac{\pi c^3}{6}sin2\alpha.sin(\alpha + 45^\circ)$

[S.B.]

Без заглавие (97).png (346.86 KiB) Прегледано 772 пъти

А ето и моята картинка.Обемът на тялото е сбор от обемите на двата конуса $ACA_{1 }$ и $BCB_{1 }$, с образувателни съответно катетите $AC$ и $BC$.Няма смисъл да разписвам решението.

[KOPMOPAH]

Само питам - обемът, който се търси, не може ли да се получи, като от обема на пресечения конус се извадят обемите на споменатите по-горе два конуса?

[S.B.]

Само питам - обемът, който се търси, не може ли да се получи, като от обема на пресечения конус се извадят обемите на споменатите по-горе два конуса?

Кой знае?Може и да може !Зависи...
Моят поглед върху задачата е, че приемам триъгълника за плътен и за това съм го оцветила .Когато се образува пресечения конус,обемът на тялото(разбирам вместимостта му) ще бъде кухата част ,която се получава в конусите,които се очетрават от катетите,а другата част на тялото ще бъде плътната маса на въртящият се триъгълник.
Въпрос на виждане!
Както предлагате Вие - ако от обема на пресечения конус се извадят обемите на споменатите конуси ще се получи плътната маса на тялото образувано от въртящия се триъгълник.