Конкурс СУ 2001 г. зад.3

[S.B.]

Дадена е триъгълна пирамида $ABCD$ с дължини на ръбовете $AB = 2 , CD = 4 ,CA = CB = DA = DB = \sqrt{10}$ . Да се намерят дължините на радиусите на вписаната в пирамидата и описаната около пирамидата сфери.

[S.B.]

Без заглавие (100).png (252.86 KiB) Прегледано 338 пъти

1) Радиус на вписаната сфера:

[tex]r = \frac{3V}{S_{пълна }}[/tex]
$\triangle ABC \cong \triangle ABD $ трети признак) $\Rightarrow S_{ABC } = S_{ABD }$
За $\triangle ABC \rightarrow CM\bot AB , CM = \sqrt{CA^{2} - MA^{2}} = \sqrt{10 - 1} = 3 \Rightarrow S_{ABD } = S_{ABC } = \frac{AB.MC}{2} = \frac{2.3}{2} = 3$
За $\triangle ACD \rightarrow AN\bot CD ,AN = \sqrt{AN^{2} - DN^{2}} = \sqrt{10 - 4} = \sqrt{6}, S_{BCD } = S_{ACD } \frac{AN.CD}{2} = 2\sqrt{6}$
$S_{пълна } = 2(3 + 2\sqrt{6})$
За $\triangle MCD $ прилагам Косинусова теорема $cos\varphi = \frac{DC^{2} - MD^{2} - MC^{2}}{- 2MD.MC} = \frac{16 - 18}{-18} = \frac{1}{9} \Rightarrow sin\varphi = \frac{4\sqrt{5}}{9}$
За $\triangle MHD ,DH \bot MC \rightarrow \frac{DH}{DM} = sin\varphi \Rightarrow DH = DM.sin\varphi = 3.\frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$
$V = \frac{1}{3}.DH.S_{ABC } = \frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{5}}{3}.3 = \frac{4\sqrt{5}}{3}$
$r = \frac{3V}{S_{пълна }} = \frac{2\sqrt{5}}{3 + 2\sqrt{6}}$
2)Радиус на описаната сфера
Центърът на описаната сфера лежи в симетралната равнина $(MCD$).Ако равнината $(ABD)$ отсича от сферата кръг с център $O_{2 }$ и радиус $r_{2 }$ , а равнината $(ABC)$ кръг с център $O_{1 }$ и радиус $r_{1 }$ то центърът на сферата $O$ е пресечната точка на перпендикулярите издигнати от центровете на двата кръга към равнините им.Те се пресичат в т.$O$,която лежи в симетралната равнина $(MCD)$
По $MC \bot AB$ и $ MD \bot AB$ където $M$ е среда на $AB$ построявам равнината $(MCD)$ която пресича пирамидата в $\triangle MCD$ - равнобедрен;
Окръжност $k_{1 }(O_{1 },r_{1 }$ е описана около $\triangle ABD$ , окръжност $k_{2 }(O_{2 },r_{2 }$ е описана около $\triangle ABC$
$\triangle ABC \cong \triangle ABD \Rightarrow r_{1 } = r_{2 }$ По синусова теорема $r_{1 } = r_{2 } = \frac{5}{3}$
$d_{1 }\begin{cases} Z O_{1 } \\ \bot MD\end{cases} $, $d_{2 }\begin{cases} Z O_{2 }\\ \bot MC\end{cases} $ ,$ d_{1 } \cap d_{2 } = O$
$\triangle OO_{1 }M \cong \triangle OO_{2 }M$ $ MO$ - обща, $MO_{1 } = MO_{2 }$
$\frac{d_{2 }}{MO_{2 }} = tg\frac{\varphi}{2} \Rightarrow d_{2 } = MO_{2 }.\frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{3}.\frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{15}$
От $\triangle OO_{2 }C \rightarrow R = OC = \sqrt{d_{2 }^{2} + r_{2 }^{2}}$ ...........

Скрит текст: покажи

Спирам защото ми прегря компютъра!Всеки може и сам да получи отговора