Сечение в призма

[S.B.]

Всички ръбове на правилната триъгълна призма $ABCA_{1 }B_{1 }C_{1 }$ са равни на $a$ Построено е сечението $BCD_{1 }$ и в тялото $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }$ е вписана сфера.Намерете повърхнината й.

Скрит текст: покажи

Отг.[tex]\frac{16\pi а^{2}}{(8 + \sqrt{3} + \sqrt{7})^{2}}[/tex]

[KOPMOPAH]

А къде е т.$D_1$? Някъде на ръба $AA_1$ ли е?

[S.B.]

А къде е т.$D_1$? Някъде на ръба $AA_1$ ли е?

Не е казано,но предполагам,че така трябва да се избере,че в тялото $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }$ да може да се впише сфера.Но отговорът е твърде странен...

[S.B.]

Без заглавие (13).png (323.79 KiB) Прегледано 357 пъти

Избор на точка D1

Без заглавие (21).png (416.65 KiB) Прегледано 357 пъти

Всички ръбове на правилната триъгълна призма $ABCA_{1 }B_{1 }C_{1 }$ са равни на $a$ Построено е сечението $BCD_{1 }$ и в тялото $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }$ е вписана сфера.Намерете повърхнината й.

Скрит текст: покажи

Отг.[tex]\frac{16\pi а^{2}}{(8 + \sqrt{3} + \sqrt{7})^{2}}[/tex]

Избор на точка. D1
За точка [tex]D_{1 }[/tex] се иска да е такава,че тялото $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }$ в което авторите са вписали сфера да бъде 5-стенно с 5 върха.
1) Нека $D_{1 } \in AA_{1 },D_{1 }\ne A, D_{1 }\ne A_{1 }$
Тогава сечението $BCD_{1 }$ отсича телата $BCC_{1 }B_{1 }A_{1 }D_{1 }$ - 6 върха или $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }A$ - 6 върха.
2) Ако $D_{1 }$ принадлежи на някоя от стените ,тъй като две равнини ако имат 1 обща точка то те със сигурност имат и втора обща точка,а следователно и обща права сечението ще отсече отново тяло с 6 върха - пример на чертежа $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }D_{2 }$.Същото би се получило и ако $D_{1 }$ принадлежи на някой от ръбовете $AC ,AB ,A_{1 }C_{1 } ,A_{1 }B_{1 }$
3) остават случаите когато $D_{1 }\equiv A_{1 }$ или $D_{1 } \equiv A$
Ако $D_{1 } \equiv A \Rightarrow (BCA) \equiv (BCD_{1 })$ , тогава полученото тяло е $BCC_{1 }B_{1 }A$ - има 5 върха и 5 стени;
Ако $D_{1 }\equiv A_{1 } $ полученото тяло е $BCC_{1 }B_{1 }A_{1 }$ - има 5 върха и 5 стени:
Двете тела са еднакви.
Аз избирам $D_{1 }\equiv A_{1 }$
По условие в тялото е вписана сфера $\Rightarrow $ тя се допира до всичките му стени $\Rightarrow R = \frac{3V}{S_{пълна }}$
Намиране на $S_{пълна }$ :
От $\triangle MM_{1 }A_{1 } \rightarrow MA_{1 } = \sqrt{\frac{3a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$
$S_{BCC_{1 }B_{1 } } = a^{2} ; S_{B_{1 } C_{1 } A_{1 }} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} ; S_{CC_{1 }A_{1 } } = S_{BB_{1 }A_{1 } } = \frac{a^{2}}{2} ; S_{BC_{1 }A_{1 } } = \frac{a^{2}\sqrt{7}}{4}$
$S_{пълна } = \frac{a^{2}(8 + \sqrt{3} + \sqrt{7})}{4}$
$V = \frac{a^{2}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
$R = \frac{3V}{S_{п }} = \frac{2a\sqrt{3}}{(8 + \sqrt{3} + \sqrt{7}}$
$S_{сф } = 4\pi R^{2} = \frac{48 a^{2} \pi}{(8 + \sqrt{3} + \sqrt{7})^{2}}$

Скрит текст: покажи

Още в началото казах,че отговора не се получава точно както е даден. Дадено е 16..... , а аз получавам 48....Не знам защо.Който открие грешката да я поправи

[S.B.]

3) остават случаите когато $D_{1 }\equiv A_{1 }$ или $D_{1 } \equiv A$
Ако $D_{1 } \equiv A \Rightarrow (BCA) \equiv (BCD_{1 })$ , тогава полученото тяло е $BCC_{1 }B_{1 }A$ - има 5 върха и 5 стени;
Ако $D_{1 }\equiv A_{1 } $ полученото тяло е $BCC_{1 }B_{1 }A_{1 }$ - има 5 върха и 5 стени:

Допуснала съм грешка.
Вярното е:
Ако [tex]D_{1 } \equiv A\Rightarrow (BCD_{1 }) \equiv (BCA)[/tex] и тогава полученото тяло е самата призма $ABSA_{1 }B_{1 }C_{1 }$ - 6 върха и 6 стени и за да се получи тялото $BCC_{1 }B_{1 }D_{1 }$ трябва да се направи допълнително построение на ново сечение $B_{1 }C_{1 }D_{1 }$,което е различно от казаното в условието $BCD_{1 }$
Остава единствена възможност $D_{1 } \equiv A_{1 }$
Съжалявам!