Описано и вписано кълбо...

[S.B.]

Да се намери двустенния ъгъл между равнината на основата и околната стена на правилна четириъгълна пирамида,ако $R = 3r$,където $R$ е радиусът на описаното,а $r$ радиусът на вписаното кълбо.

[KOPMOPAH]

Добре-2.gif (40.86 KiB) Прегледано 868 пъти

Хубава задачка!

[ptj]

http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498gotman.pdf

зад. 3

[S.B.]

http://kvant.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498gotman.pdf

зад. 3

Да,наистина! В нета има всичко !Но аз , като непоправим романтик , все още вярвам,че има хора,за които усилието положено за намирането на решението на една задача носи удовлетворение несравнимо с това което се получава от усилието положено да се "изрови" от дебрите на нета нещо подбно!

[ptj]

Задачата е доста по-трудна от обичайно публикуваните в стереометрия и надали някой (освен традиционно пишещите) би написал нейното решение .
Тя спада към раздела за подготовка за олимпиади, а цитираната статия доста обширно засяга задачи за вписани и описани около пирамида сфери.

[ins-]

Замислих се за задача, на която не знам решението.

В произволен тетраедър радиусите на вписаната и описаната сфери са [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex]. Центровете им са [tex]O[/tex] и [tex]I[/tex]. Възможно ли е дължината на [tex]OI[/tex] да се изрази чрез [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex]?

[ins-]

https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01237596 оказва се, че задачата, която пуснах е дискутирана тук и е с много богата история. Исках да измисля задача по стереометрия и това беше едно от първите неща, които се сетих.

[S.B.]

... оказва се, че задачата, която пуснах е дискутирана тук....

Уважаеми колега ins-,
Нека да уточним нещата!Вие не сте "пуснали" задача тук, а се прикачихте към темата която аз зададох ,с коментар,който не е свързан с решението на поставената стереометрична задача.Ако Вие имате желание да поставите някаква друга тема - моля!Форумът е отворен!Пишете това което Ви вълнува,но не "размивайте" темата,която някой друг е поставил преди Вас.
Искам да Ви уверя,че аз знам решението на задачата която поставих.Тя е взета от сборник на български автори - Кирил Николов и Добромир Тодоров и не е необичайна.Решението й се осъществява изключително и само със знанията които се придобиват до 12 клас - приложение на тригонометрията в планиметрията и стереометрията и нищо повече.
Уверявам Ви,че аз съм готова да напиша решението придружено с чертеж и няма да Ви препратя към LINK.
А Вие спокойно можете да поставите като отделна тема вашето желание да създадете стереометричната задача за която споменахте и да предизвикате дебат.
Искрено Ви желая успех!

[ins-]

Извинявам се, че се получи така! Задачата, която пуснах е много тежка. Дълго време търсех и не откривах решение. Предложената от Вас задача ме провокира пак да потърся и намерих нещо интересно. Не се стърпях и го пуснах. Математическата общественост над 100 години е приемала грешен резултат за верен. Понякога и да се намери линк не е лесно. Далеч съм от мисълта, че мога да реша всички задачи. Понякога има задачи, чиито отговори не знам и стоят нерешени с години и аз или някой друг успява да ги реши. Пак се извинявам за причиненото неудобство!

[S.B.]

Без заглавие (10).png (610.62 KiB) Прегледано 668 пъти

Да се намери двустенния ъгъл между равнината на основата и околната стена на правилна четириъгълна пирамида,ако $R = 3r$,където $R$ е радиусът на описаното,а $r$ радиусът на вписаното кълбо.

Измина доста време от както публикувах задачата,но никой не представи решение до този момент.За това аз ще публикувам своето решение
Означавам основния ръб с $a$ , височината на пирамидата с $h$ , двустенния между равнината на основата и околната стена,който се търси с [tex]\varphi[/tex] , а ъгъла между околен ръб и равнината на основата с $\alpha$
Построявам сечение по апотемите $MK$ и $MN$ - това е равнобедрения $\triangle MNK$,в който е вписана окръжност с център $O$ - сечението на вписаното кълбо , има ъгъл при основата $\angle KNM = \varphi$ и височина $MH$ - височината на пирамидата.
$\frac{MH}{HN} = tg\varphi \Leftrightarrow h = \frac{a}{2}.tg\varphi $

$ \frac{OH}{HN} = tg\frac{\varphi}{2}\Leftrightarrow r = \frac{a}{2}.tg\frac{\varphi}{2}$
Построявам сечение по околните ръбове на пирамидата $MA$ и $MC$.Това е равнобедрения $\triangle ACM$ ,около който е описана окръжност - сечението на описаното около пирамидата кълбо.Триъгълникът има ъгъл при основата $\angle ACM = \alpha$ , височина $MH$ - височината на пирамидата и основа $AC = a\sqrt{2}$ - диагонал в основата $ABCD$ на пирамидата.
$\frac{MH}{HC} = tg\alpha \Leftrightarrow h = \frac{a\sqrt{2}}{2}tg\alpha$
$\frac{AC}{sin(180^\circ - 2\alpha)} = 2R \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{2}}{sin2\alpha} = 2R \Leftrightarrow a\sqrt{2} = 2R.sin2\alpha \Leftrightarrow a\sqrt{2} = 2R.\frac{2tg\alpha}{1 + tg^{2}\alpha} \Rightarrow \frac{a}{2} = \frac{3r}{\sqrt{2}}.\frac{2tg\alpha}{1 + tg^{2}\alpha}$
Намирам връзката между $\varphi$ и $\alpha$:
$ \begin{cases} h =\displaystyle \frac{a}{2}tg\varphi \\ h = \displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}.tg \alpha\end{cases} \Rightarrow tg\alpha = \displaystyle\frac{tg\varphi}{\sqrt{2}}$

$\begin{cases} r = \displaystyle\frac{a}{2}.tg\displaystyle\frac{\varphi}{2} \\ \displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{3r}{\sqrt{2}}.\displaystyle\frac{2tg\alpha}{1 + tg^{2}\alpha}\end{cases} \Rightarrow r = \displaystyle\frac{3r}{\sqrt{2}}.\displaystyle\frac{2tg\alpha}{1 + tg^{2}\alpha}.tg\frac{\varphi}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2tg\alpha}{1 + tg^{2}\alpha}.tg\frac{\varphi}{2}$
Замествам $tg\alpha = \frac{tg\varphi}{\sqrt{2}}$ и след преработка получавам тригонометричното уравнение:
$\displaystyle\frac{1}{6} =\displaystyle \frac{tg\varphi.tg\displaystyle\frac{\varphi}{2}}{2 + tg^{2}\varphi} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2sin^{2}\displaystyle\frac{\varphi}{2}.cos\displaystyle\frac{\varphi}{2}}{cos\varphi.cos\displaystyle\frac{\varphi}{2}}}{\displaystyle\frac{2cos^{2}\varphi + sin^{2}\varphi}{cos^{2}\varphi}} \Leftrightarrow \frac{1}{6} = \frac{cos\varphi(1 - cos\varphi)}{1 + cos^{2}\varphi} \Leftrightarrow 7cos^{2}\varphi - 6.cos\varphi + 1 = 0$
Нека $cos\varphi = t , |t| < 1 $ , $7t^{2} - 6t + 1 = 0 , t_{1 } = \frac{3 + \sqrt{2}}{7} \approx 0,6306 < 1 , t_{2 } = \frac{3 - \sqrt{2}}{7} \approx 0,2265 < 1$
$$ cos\varphi = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$$