Поредната задача

[MasterZ]

реших да споделя още различни стереометрични задачи.
На плоскост лежи кълбо с радиус R. Тази равнина е пресечена от прав кръгов цилиндър с радиус r , при това образуващите на цилиндъра са перпендикулиарни на равнината. Центърът на кълбото е отдалечен от оста на цилиндъра на разстояние p (p>R+r). Да се намери минимално възможния радиус на кълбото, който би докосвал едновременно цилиндъра, равнината и даденото кълбо.

пускайте идеи, решения, с удоволствие бих видял и вашия подход към задачата

[martin123456]

нека цилиндърът се допира до равнината в точка [tex]O_c[/tex], a кръгът - в точка [tex]O_k[/tex]. нека 'търсеният' кръг се допира до равнината в точка [tex]O_t[/tex] и има радиус [tex]r_t[/tex].
имаме следните равенства: [tex]O_cO_t=r+r_t[/tex], [tex]O_kO_t=2\sqrt{Rr_t}[/tex], [tex]O_cO_k=p[/tex]. Тези точки или образуват [tex]\Delta[/tex] или лежат на 1 права. в последния случай ясно че [tex]O_t \in \overline{O_cO_k}[/tex]. Комбинараме неравенство на [tex]\Delta[/tex] и случай на лежене на една права и получаваме [tex]r+r_t + 2\sqrt{Rr_t} \geq p \Leftrightarrow 4Rr_t \geq [(p-r)-r_t ]^2\Leftrightarrow 4Rr_t \geq (p-r)^2-2r_t(p-r)+r_t^2[/tex][tex]\Leftrightarrow r_t^2-2r_t(p-r+2R)+(p-r)^2 \leq 0[/tex], [tex]D=4(p-r+2R)^2-4(p-r)^2=16R(p-r)+16R^2=16R(p-r+R)>16R.2R=32R^2 >0[/tex]
[tex]\Rightarrow r_t \in [p-r+2R - 2\sqrt{R(p-r+R)}, p-r+2R + 2\sqrt{R(p-r+R)}][/tex]. имаме 2 положителна корена на равенството. най-малкото се достига в левия край на интервала, т.е. когато точките лежат на 1 права.

[MasterZ]

Естествено пак имаш по елегантно решение от моето....