Стереометрична задача-декември,2019

[poankare56]

Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCQ с височина към основата QH. Разстоянието от точка Н до стената BCQ е равно на а. Намерете обема на пирамидата, ако околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с мярка α.

[S.B.]

Без заглавие (67).png (314.98 KiB) Прегледано 411 пъти

Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCQ с височина към основата QH. Разстоянието от точка Н до стената BCQ е равно на а. Намерете обема на пирамидата, ако околните ръбове сключват с равнината на основата ъгли с мярка α.

Построявам сечение по околния ръб [tex]QA[/tex] и апотемата на страната $BCQ$ - $QM$
Нека основния ръб на пирамидата е $x$ , тогава $ AM = \frac{x\sqrt{3}}{2}$ като медиана на основата $\triangle ABC$ ,който е равностранен.
Върхът $Q$ се проектира в т.$H$ - център на вписаната и описана окръжност;
т.$H$ е медицентър и $AH = \frac{x\sqrt{3}}{3} , MH = \frac{x\sqrt{3}}{6}$
Нека $QH = h , \angle CMA = \varphi $
По условие$ \angle CAM = \alpha , HN \bot MC ,HM = a$
Ще изаразя за удобство неизвестния $\angle \varphi $ чрез дадения $\angle \alpha$
От $\triangle HAQ \rightarrow \displaystyle \frac{h}{\displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{3}} = tg\alpha \Rightarrow h = \displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{3}tg\alpha$
От $\triangle HMQ \rightarrow \displaystyle\frac{h}{\displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{6}} = tg\varphi\Rightarrow h = \displaystyle\frac{x\sqrt{3}}{6}tg\varphi$
$\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{3}tg\alpha = \frac{x\sqrt{3}}{6}tg\varphi \Leftrightarrow tg\varphi = 2tg\alpha$
$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{sin\varphi}{cos\varphi} = 2tg\alpha \\ sin^{2}\varphi + cos^{2}\varphi = 1 \end{array}$
като се има предвид,че $\varphi < 90^\circ$ получавам $cos\varphi = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}} ,sin\varphi = \displaystyle\frac{2tg\alpha}{\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}}$
От $\triangle MHN\rightarrow \frac{NH}{MH} = sin\varphi \Leftrightarrow a = \frac{x\sqrt{3}}{6}.sin\varphi \Leftrightarrow a = \frac{x\sqrt{3}}{6}.\frac{2tg\alpha}{\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}} \Rightarrow $
След преработка : $ x = \frac{3a\sqrt{3(4tg^{2}\alpha + 1)}}{tg\alpha}$
$V = \frac{1}{3}B.h$
Намирам последователно : $B = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}a^{2}(4tg^{2}\alpha + 1)}{4tg^{2}\alpha}$
$h = \frac{x\sqrt{3}}{6}tg\alpha = \frac{3a\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}}{2}$
$V = \frac{1}{3} B.h = \frac{1}{3}.\frac{27\sqrt{3}a^{2}(4tg^{2}\alpha + 1)}{4tg^{2}\alpha}.\frac{3a\sqrt{4tg^{2}\alpha +1}}{2}$
$$ V = \frac{27\sqrt{3}a^{3}(4tg^{2}\alpha + 1)\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}}{8tg^{2}\alpha} $$

Скрит текст: покажи

Надявам се да не съм оплела конците при сметките!

[poankare56]

Здравете,
първо голямо благодаря за решението на задачата. Давана е на сегашната Национална олимпиада по математика в СМГ за 12.кл.
Аз я реших посредством метода на координатите, но Вашето решение несъмнено е по-красиво.
От написаното,излиза,че моят отговор и вашият не съвпадат. Предполагам причините са, че:
-написали сте, че :
h= (x*3^(1/2)*tg[tex]\alpha[/tex])/6, което значи, че сте заменили алфа с фи и съответно височината се получава h= (x*tg\alpha)/(3^1/2).
-друготонещо, което забелязах е, че сте объркали при изразяването на х чрез а, като сте умножили с 3, която тройка всъщност се съкращава т.е. х=((3*(4tg^2α+1))^1/2)/tgα

други грешки не успях да забележа,
благодаря отново за това решение и извинвайте за така записаните изрази отгоре, но не знам как да използвам бутоните


​

​

[S.B.]

Здравете,
първо голямо благодаря за решението на задачата. Давана е на сегашната Национална олимпиада по математика в СМГ за 12.кл.
Аз я реших посредством метода на координатите, но Вашето решение несъмнено е по-красиво.
От написаното,излиза,че моят отговор и вашият не съвпадат. Предполагам причините са, че:
-написали сте, че :
h= (x*3^(1/2)*tg[tex]\alpha[/tex])/6, което значи, че сте заменили алфа с фи и съответно височината се получава h= (x*tg\alpha)/(3^1/2).
-друготонещо, което забелязах е, че сте объркали при изразяването на х чрез а, като сте умножили с 3, която тройка всъщност се съкращава т.е. х=((3*(4tg^2α+1))^1/2)/tgα

други грешки не успях да забележа,
благодаря отново за това решение и извинвайте за така записаните изрази отгоре, но не знам как да използвам бутоните


​

​

Благодаря за вниманието!
Радвам се,че Ви харесва решението - а именно изразяването на ъгъл $\varphi$,който е много по удобен за ползване чрез дадения ъгъл $\alpha$,който никак не е удобен!
Допускам ,че може да съм допуснала грешка при набирането на текста на LaTex.Случва се!Но много, много не мога да разбера написаното от Вас,за това пререших някои пасажи:
От [tex]MNH \rightarrow \frac{NH}{MH} = sin\varphi \Leftrightarrow a=\frac{x\sqrt{3}}{6}.sin\varphi \Leftrightarrow a= x.\frac{\sqrt{3}}{6}.\frac{2tg\alpha}{\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}} = x.\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{tg\alpha}{\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}}[/tex]
[tex]x = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4tg^{2} + 1}}{tg\alpha}[/tex]
[tex]h = x\frac{\sqrt{3}}{3} tg\alpha = \frac{a\sqrt{3}\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}}{tg\alpha}\frac{\sqrt{3}}{3}.tg\alpha \Rightarrow h = a\sqrt{4tg^{2}\alpha + 1}[/tex]
Явно имам грешка в знаменателя.