Четириъгълна пирамида

[S.B.]

За основа на четириъгълна пърамида [tex]SABCD[/tex] служи ромб със страна $a$ и ъгъл $60^\circ$.
Околният ръб на пирамидата $SA= a$.Докажете, че $SB,SC$ и $SD$ могат да бъдат страни на правоъгълен триъгълник.

[KOPMOPAH]

#ДаСъхранимСтереометрията

[vezni]

geogebra-export.png (49.14 KiB) Прегледано 481 пъти

В случая векторният подход ми изглежда подходящ.
Означаваме [tex]\vec{AB}=\vec{x},\vec{AD}=\vec{y},\vec{AS}=\vec{z}\Rightarrow |\vec{x}|=|\vec{y}|=|\vec{z}|=a \Rightarrow \vec{x}.\vec{y}=a^2\cos(60^{\circ})=\frac{a^2}{2}[/tex]
Намираме
[tex]\vec{BS}=\vec{AS}-\vec{AB}=\vec{z}-\vec{x}[/tex]
[tex]\vec{DS}=\vec{AS}-\vec{AD}=\vec{z}-\vec{y}[/tex]
[tex]\vec{CS}=\vec{AS}-\vec{AC}=\vec{AS}-\left(\vec{AB}+\vec{AD}\right)=\vec{z}-\vec{x}-\vec{y}[/tex]
Оттук следва, че
[tex]BS^2+DS^2=2\vec{z}^2+\vec{x}^2+\vec{y}^2-2\left(\vec{x}.\vec{z}+\vec{y}.\vec{z}\right)=4a^2-2\left(\vec{x}.\vec{z}+\vec{y}.\vec{z}\right)[/tex]
[tex]CS^2=\vec{x}^2+\vec{y}^2+\vec{z}^2+2\vec{x}.\vec{y}-2\left(\vec{x}.\vec{z}+\vec{y}.\vec{z}\right)=4a^2-2\left(\vec{x}.\vec{z}+\vec{y}.\vec{z}\right)[/tex]
Следователно [tex]BS^2+DS^2=CS^2[/tex].

[Евва]

Доказах го като приложих 4 пъти -косинусова теорема .

[KOPMOPAH]

Доказах го като приложих 4 пъти -косинусова теорема .

То косинусовата теорема си е вектори в неявен вид

[S.B.]

#ДаСъхранимСтереометрията

Дано с общи усилия да успеем!

[S.B.]

Доказах го като приложих 4 пъти -косинусова теорема .

Ами напиши го! Даже благодарение на vezni имаш и чертеж!

[Евва]

Иска ми се ,като подхвърля идеята -ученик да я реши .

[S.B.]

Иска ми се ,като подхвърля идеята -ученик да я реши .

Стереометрията в момента е неглижирана в образователната ни система! Стереометрия се изучава само през 1 срок в 12 клас,като материала не е включен нито в програмата за ДЗИ нито в програмите за кандидат студентските изпити.Не се надавай на "някой ученик"! Не случайно KOPMOPAH подема инициативата
#Да Съхраним Стереометрията!

Скрит текст: покажи

Само,че не знам как може да се осъществи!Интересът от страна на учениците към Стереометрията е почти никакъв!

[ins-]

Учил съм в общообразователно училище с 11-ти клас последен. Даже и тогава се учеше стереометрия. Как сега учат до 12-ти клас, а като чувам и в МГ-тата не могат да стигнат някои хора нивото на общообразователните училища от преди години?! Не е ли идеята да се върви напред вместо да се затъпява?!

[Евва]

Приемам ABCDS за наклонена пирамида .Нека т.Н е пресечна точка на диагоналите AC и BD ,SH=t ,SB=x ,SC=y ,SD=z .
Нека [tex]\angle[/tex]AHS=[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]DHS=[tex]\beta[/tex] .
Ще докажем ,че: [tex]y^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]z^{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ABD е равнобедрен с ъгъл при върха 60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] (а) АН=СН=[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] , (б) BH=DH=[tex]\frac{a}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]AHS-cos T) [tex]a^{2}[/tex]=[tex]\frac{3a^{2}}{4}[/tex]+[tex]t^{2}[/tex]-2t.[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]CHS-cos T) [tex]y^{2}[/tex]=[tex]\frac{3a^{2}}{4}[/tex]+[tex]t^{2}[/tex]-2t.[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex].cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) (2) [събираме (1) и (2) ]

[tex]a^{2}[/tex]+[tex]y^{2}[/tex]=[tex]\frac{6a^{2}}{4}[/tex]+2[tex]t^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]y^{2}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex]+2[tex]t^{2}[/tex] (3)

([tex]\triangle[/tex]DHS-cos T) [tex]z^{2}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex]+[tex]t^{2}[/tex]-2[tex]\frac{a}{2}[/tex]t.cos[tex]\beta[/tex] (4)

([tex]\triangle[/tex]BHS-cos T) [tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}}{4}[/tex]+[tex]t^{2}[/tex]-2[tex]\frac{a}{2}[/tex]t.cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]) (5) [събираме (4) и (5)]

[tex]x^{2}[/tex]+[tex]z^{2}[/tex]=[tex]\frac{2a^{2}}{4}[/tex]+2[tex]t^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex]+[tex]z^{2}[/tex]=[tex]\frac{a^{2}}{2}[/tex]+2[tex]t^{2}[/tex] (6)

Като погледнем (3) и (6) ,осъзнаваме че [tex]y^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]z^{2}[/tex]