Отново правилна пирамида...

[S.B.]

Височината на правилна четириъгълна пирамида образува с околната стена ъгъл [tex]30^\circ[/tex]През един от основните ръбове е построена равнина перпендикулярна на срещуположната околната стена,която разделя обема на пирамидата на две части.Да се намери отношението им.

[KOPMOPAH]

Скрит текст: покажи

Както казват понякога тук - получих $3:5$

[Knowledge Greedy]

Скрит текст: покажи

Както казват понякога тук - получих 3:5

Хмм

Скрит текст: покажи

Струва ми се, че има и коренче [tex]\sqrt{3}[/tex] в суматохата. Пирамидалната част с основа трапец е рационално кратно на [tex]a^3[/tex], а цялата пирамида е с обем ирационално ([tex]\sqrt{3}[/tex]) кратно на [tex]a^3[/tex]

[Евва]

И аз получих 3:5

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Тъй като извънредното положение ще се продължи до 12 май (последно тази година!) ще имате достатъчно време да се разберете,като се обосновете,колеги!

[KOPMOPAH]

Отново правилна пирамида.png (25.38 KiB) Прегледано 383 пъти

Приемаме основния ръб за $2$, че иначе има много двойки в знаменателя
Тогава $HE=1$, $FE=\sqrt 3$, $FH=2$.
Триъгълникът $\triangle FGH$ е равностранен, следователно $GI=\sqrt 3$, $FI=1$.
В триъгълника $\triangle ADF$ $MN=1$, защото е средна отсечка, $HF=2$.
Лицето на сечението-трапец е $$S_{BMNC}=\frac 12(2+1).\sqrt 3=\frac {3\sqrt 3}2$$.
Обемът на пирамидалната част след разделянето на пирамидата е $$V_{BMNCF}=\frac 13.S_{BMNC}.FI=\frac 13.\frac {3\sqrt 3}2.1=\frac {\sqrt 3}2$$
а на първоначалната пирамида$$V_{ABCDF}=\frac 13 4\sqrt 3=\frac {4\sqrt 3}3$$
Отношението на тези обеми е$$\frac{V_{BMNCF}}{V_{ABCDF}}=\frac{\displaystyle \frac {\sqrt 3}2}{\displaystyle\frac {4\sqrt 3}3}=\cdots=\frac 38$$
За останалата част остава $\frac 58$ и търсеното отношение на обемите е $3:5$

[Евва]

Получих [tex]\frac{V_{BMNCF }}{V_{ABCDF }}[/tex]=[tex]\frac{\frac{1}{3}.\frac{a^{2}3\sqrt{3}}{8}.\frac{a}{2}}{\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}[/tex] =[tex]\frac{3}{8}[/tex]
Тогава търсеното отношение е [tex]\frac{3}{8-3}[/tex]=3:5