пирамида

[mon4eto]

Основата на четириъгълна пирамида ABCDE е четириъгълникът ABCD със страни AB=5, BC=25, CD=35, DA=17. Околните ръбове на пирамидата са равни и околната стена CDE е правоъгълен триъгълник. Намерете разстоянието от т.Е до (ABCD).

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-09T161626.873.png (332.8 KiB) Прегледано 483 пъти

Основата на четириъгълна пирамида ABCDE е четириъгълникът ABCD със страни AB=5, BC=25, CD=35, DA=17. Околните ръбове на пирамидата са равни и околната стена CDE е правоъгълен триъгълник. Намерете разстоянието от т.Е до (ABCD).

Околните ръбове са равни [tex]\Rightarrow[/tex] върхът на пирамидата се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност.
Това означава , че в основата $\angle C + \angle A = 180^\circ$ и ако $\angle C = \varphi \Rightarrow \angle A = 180^\circ - \varphi$
Решаване на основата:
За $\triangle BDC$ прилагам Косинусова теорема: $BD^{2} = 35^{2} + 25^{2} - 2.35.25.cos\varphi = 1850 - 1750.cos\varphi$
За $\triangle BAD$ прилагам Косинусова теорема: $BD^{2} = 17^{2} + 5^{2} - 2.5.17.cos(180^\circ - \varphi) = 314 + 170.cos\varphi$
Приравнявам и получавам:
$1850 - 1750.cos\varphi = 314 + 170.cos\varphi \Leftrightarrow 1536 = 1920.cos\varphi \Rightarrow cos\varphi = \frac{4}{5} $ съответно $sin\varphi = \frac{3}{5}$
$BD = \sqrt{314 + 170.\frac{4}{5}} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2}$
За $\triangle BCD$ прилагам Синусова теорема : $\displaystyle\frac{BD}{sin\varphi} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{15\sqrt{2}}{\displaystyle\frac{3}{5}} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle\frac{25\sqrt{2}}{2}$

Решаване на пирамидата:
Всички околни ръбове са равни,$\triangle CDE$ е правоъгълен следователно е равнобедрен.
По Питагор намирам,че $CE = DE = \frac{35\sqrt{2}}{2}$
От $\triangle HCE \rightarrow HC^{2} = CE^{2} - R^{2}\Leftrightarrow HC = \sqrt{(\frac{35\sqrt{2}}{2})^{2} - (\frac{25\sqrt{2}}{2})^{2}} = 5\sqrt{12}$

[Knowledge Greedy]

Основата на четириъгълна пирамида ABCDE е четириъгълникът ABCD със страни AB=5, BC=25, CD=35, DA=17. Околните ръбове на пирамидата са равни и околната стена CDE е правоъгълен триъгълник. Намерете разстоянието от т.Е до (ABCD).

Очевидно околните ръбове са катети на споменатия в условието правоъгълен триъгълник със страна [tex]CD=35[/tex]. няма друга възможност. Следователно всички околни ръбове са по [tex]\frac{35\sqrt{2}}{2}[/tex]
Явно четириъгълникът на основата е вписан в окръжност, ( върхът на пирамидата се проектира ортогонално в центъра [tex]O[/tex] на описаната около основата окръжност) - след като околните ръбове са равни.
Ще се наложи да открием радиуса на описаната около основата окръжност.
Първа стъпка - две косинусови теореми - за [tex]\triangle ADC[/tex] и [tex]\triangle ABC[/tex] с които изразяваме [tex]AC[/tex] по два начина. Използваме, във вписания четириъгълник ако [tex]\angle ABC = \beta[/tex], то [tex]\angle ADC = 180^\circ -\beta[/tex] и също [tex]cos (180^\circ -\beta)=-cos\beta[/tex]
Приравняваме двете изразявания на [tex]AC^2[/tex] и от получената зависимост изразяваме [tex]cos \beta = -\frac{3}{5}[/tex]
Оттук два извода:
1) [tex]sin\beta =\frac{4}{5}[/tex]
2) [tex]AC^2=800 \,\ \Rightarrow \,\ AC=20\sqrt{2}[/tex]
Следващият извод е със синусова теорема - примерно отново за [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]2Rsin\beta = 20\sqrt{2} \,\ \Rightarrow \,\ R=\frac{25\sqrt{2}}{2}[/tex]

В заключение - търсеното разстояние е височината на пирамидата - неизвестният катет в правоъгълен триъгълник с хипотенуза един околен ръб и известен катет - намерения радиус. И всичко това в теорема на Питагор.
[tex]H^2=AC^2-R^2[/tex]
Следователно [tex]H=10\sqrt{3}[/tex]

[S.B.]

От $\triangle HCE \rightarrow HC^{2} = CE^{2} - R^{2}\Leftrightarrow HC = \sqrt{(\frac{35\sqrt{2}}{2})^{2} - (\frac{25\sqrt{2}}{2})^{2}} = 5\sqrt{12}$

[tex]5\sqrt{12} = 5\sqrt{4.3} = 10\sqrt{3}[/tex]

Ако някой не е разбрал - отговорът на колегата Knowledge Greedy и моят отговор съвпадат.