Правилна триъгълна пирамида

[S.B.]

[tex]MABC[/tex] е правилна триъгълна пирамида с височина $ h$ и ъгъл между основен и околен ръб $\alpha$. Да се намери пълната повърхнина на пирамидата.

[Davids]

Нека основният ръб е $a$, околният ръб е $l$, височината на пирамидата да е $h$, а апотемата $k$. Тогава, както добре знаем, височината на основата ще е $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, а проекцията на върха на пирамидата върху основата, т.е. нейният център, ще разделя тази височина в отношение $1:2$ считано от върха. Имайки всичко това предвид, лесно съставяме системата:
[tex]\begin{array}{|l} cos\alpha = \frac{a}{2l} \\ l^2 = h^2 + \frac{a^2}{3} \end{array}[/tex]

От първото тъждество извеждаме $a = 2lcos\alpha$, заместваме във второто и получаваме:
$l^2 = h^2 + \frac{4l^2cos^2\alpha}{3}$
$\Rightarrow l^2 = \frac{3h^2}{3 - 4cos^2\alpha}$

Така лицето на една околна стена е $S_{ok} = \frac{1}{2}l^2sin2\alpha$, а на основата е $B = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}l^2cos^2\alpha$.

И така финално пълната повърхнина на пирамидата е:
$S = 3S_{ok} + B = l^2(\frac{3}{2}sin2\alpha + \sqrt{3}cos^2\alpha)$
$\boxed{S = \frac{3h^2(3sin2\alpha + 2\sqrt{3}cos^2\alpha)} {2(3 - 4cos^2\alpha)} }$

Малко странен отговор, но се надавам да не съм объркал някъде