Меню
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
Сечение в пирамида
5 мнения
• Страница 1 от 1
Сечение в пирамида
от S.B. » 17 Апр 2020, 21:22
Дадена е правилна четириъгълна пирамида $MABCD$ с основа $ABCD$.Околните ѝ ръбове са наклонени към равнината на основата под [tex]\angle \beta[/tex].Разстоянието от центъра на основата до околен ръб е $d$.През върха $M$ е построена равнина $\delta$,която слючва с равнината на основата $\angle \alpha$ и е успоредна на диагонал от основата.Да се пресметне лицето на полученото сечение.
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Re: Сечение в пирамида
от Knowledge Greedy » 19 Апр 2020, 07:52
Сечението на [tex]\delta[/tex] с пирамидата също ще бележим с [tex]\delta[/tex].
Нека [tex]\delta ||AC[/tex], [tex]\delta \cap BD = т.P[/tex], [tex]\delta \cap AD = т.N[/tex] и [tex]\delta \cap CD = т.K[/tex]
Сега на сечението [tex]\delta[/tex] може да дадем по-функционалното име [tex]\triangle KMN[/tex]
От успоредността [tex]\delta ||AC[/tex] в условието, следва [tex]NK||AC[/tex].
Също така линеен ъгъл на дадения двустенен [tex]\alpha[/tex] е [tex]\angle BPM=\alpha[/tex]
Ясно е, че преди да изчислим търсеното, ще влезем в диагоналното сечение на пирамидата [tex]\triangle BDM[/tex], откъдето ще набавим нужните данни, т.к. още [tex]\angle DBM = \beta[/tex];
а от разстоянието [tex]OQ = d[/tex] откриваме половината на диагонала [tex]OB=\frac{d}{sin\beta}[/tex] на квадрата на основата. (Тук [tex]O[/tex] е центърът на основата и среда на диагонала [tex]BD[/tex], а [tex]Q\in BM[/tex] и [tex]QM\bot BM[/tex])
В същото сечение записваме височината [tex]MO=\frac{d}{cos\beta}[/tex]
Сега от другата страна[tex]^{\ast}[/tex] [tex]OP=MOcotg\alpha=\frac{d}{cos\beta}cotg\alpha[/tex]
В половината основа [tex]\triangle ACD[/tex], за да открием [tex]NK[/tex] образуваме пропорцията [tex]\frac{NK}{AC}=\frac{DP}{DO}[/tex] - следваща от подобието (респективно от теоремата на Талес за [tex]\angle ADC[/tex]и правите [tex]NK||AC[/tex])
Следователно - след малко преобразу́вания [tex]NK=\frac{d}{sin\beta}-\frac{d}{cos\beta}cotg\alpha[/tex]
Търсим [tex]S_{\triangle NKO}=\frac{1}{2}NK.PO[/tex] - лицето на проекцията на търсеното сечение.
[tex]S_{\triangle NKO}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{sin\beta} - \frac{cotg\alpha}{cos\beta} \right )\frac{cotg\alpha}{cos\beta}d^2[/tex]
Накрая по теоремата за лицето на сечението, чрез лицето на проекцията и косинуса на ъгъла [tex]\alpha[/tex], който сключва сечението с равнината на основата
[tex]S_{\triangle KNM}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{sin\beta} - \frac{cotg\alpha}{cos\beta} \right )\frac{1}{sin\alpha cos\beta}d^2[/tex]
______________
[tex]^{\ast}[/tex] Не е задължително. Само за удобство - за да има видимост на чертежа.
Нека [tex]\delta ||AC[/tex], [tex]\delta \cap BD = т.P[/tex], [tex]\delta \cap AD = т.N[/tex] и [tex]\delta \cap CD = т.K[/tex]
Сега на сечението [tex]\delta[/tex] може да дадем по-функционалното име [tex]\triangle KMN[/tex]
- Новата стереометрична загадка на S.B..png (11.97 KiB) Прегледано 545 пъти
От успоредността [tex]\delta ||AC[/tex] в условието, следва [tex]NK||AC[/tex].
Също така линеен ъгъл на дадения двустенен [tex]\alpha[/tex] е [tex]\angle BPM=\alpha[/tex]
Ясно е, че преди да изчислим търсеното, ще влезем в диагоналното сечение на пирамидата [tex]\triangle BDM[/tex], откъдето ще набавим нужните данни, т.к. още [tex]\angle DBM = \beta[/tex];
а от разстоянието [tex]OQ = d[/tex] откриваме половината на диагонала [tex]OB=\frac{d}{sin\beta}[/tex] на квадрата на основата. (Тук [tex]O[/tex] е центърът на основата и среда на диагонала [tex]BD[/tex], а [tex]Q\in BM[/tex] и [tex]QM\bot BM[/tex])
В същото сечение записваме височината [tex]MO=\frac{d}{cos\beta}[/tex]
Сега от другата страна[tex]^{\ast}[/tex] [tex]OP=MOcotg\alpha=\frac{d}{cos\beta}cotg\alpha[/tex]
В половината основа [tex]\triangle ACD[/tex], за да открием [tex]NK[/tex] образуваме пропорцията [tex]\frac{NK}{AC}=\frac{DP}{DO}[/tex] - следваща от подобието (респективно от теоремата на Талес за [tex]\angle ADC[/tex]и правите [tex]NK||AC[/tex])
Следователно - след малко преобразу́вания [tex]NK=\frac{d}{sin\beta}-\frac{d}{cos\beta}cotg\alpha[/tex]
Търсим [tex]S_{\triangle NKO}=\frac{1}{2}NK.PO[/tex] - лицето на проекцията на търсеното сечение.
[tex]S_{\triangle NKO}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{sin\beta} - \frac{cotg\alpha}{cos\beta} \right )\frac{cotg\alpha}{cos\beta}d^2[/tex]
Накрая по теоремата за лицето на сечението, чрез лицето на проекцията и косинуса на ъгъла [tex]\alpha[/tex], който сключва сечението с равнината на основата
[tex]S_{\triangle KNM}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{sin\beta} - \frac{cotg\alpha}{cos\beta} \right )\frac{1}{sin\alpha cos\beta}d^2[/tex]
______________
[tex]^{\ast}[/tex] Не е задължително. Само за удобство - за да има видимост на чертежа.
Feci, quod potui, faciant meliora p0tentes.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
- Knowledge Greedy
- Професор
- Мнения: 2947
- Регистриран на: 20 Фев 2010, 11:40
- Рейтинг: 2830
Re: Сечение в пирамида
от S.B. » 19 Апр 2020, 17:29
Knowledge Greedy написа:Сечението на [tex]\delta[/tex] с пирамидата също ще бележим с [tex]\delta[/tex].
Нека [tex]\delta ||AC[/tex], [tex]\delta \cap BD = т.P[/tex], [tex]\delta \cap AD = т.N[/tex] и [tex]\delta \cap CD = т.K[/tex]
Сега на сечението [tex]\delta[/tex] може да дадем по-функционалното име [tex]\triangle KMN[/tex]
Да, но според чертежа Ви [tex]\delta ||BD , \delta \cap AC = P.....[/tex]
Скрит текст: покажи
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Re: Сечение в пирамида
от Knowledge Greedy » 19 Апр 2020, 18:56
\cap
Благодаря за разбирането. Понеже упорито не използвам GeoGebga (засега), при завъртането на чертежа точките са оставили имената си и ... 10 мин. пауза е била достатъчна да се отнеса.
Да, началото трябва да е така
Нека [tex]\delta || BD, \,\ \delta \cap AC = т.P, \,\ \delta \cap AB = т. N[/tex] и [tex]\delta \cap AD = т. K[/tex]
и по-долу - също, на четвъртия ред под чертежа [tex]OQ \bot CM[/tex] и [tex]Q\in CM[/tex]
Още веднъж, благодаря S.B.! Дано не съм объркал децата.
_________________
Нека отбележа и още нещо. До неотдавна, всеки резултат трябваше да бъде приведен в така наречения вид, удобен за логаритмуване. Поради развитието на изчислителния хардуер и софтуер изчислителните техники промениха този стил и етикетът на записа вече допуска по-голяма свобода.
Благодаря за разбирането. Понеже упорито не използвам GeoGebga (засега), при завъртането на чертежа точките са оставили имената си и ... 10 мин. пауза е била достатъчна да се отнеса.
Да, началото трябва да е така
Нека [tex]\delta || BD, \,\ \delta \cap AC = т.P, \,\ \delta \cap AB = т. N[/tex] и [tex]\delta \cap AD = т. K[/tex]
и по-долу - също, на четвъртия ред под чертежа [tex]OQ \bot CM[/tex] и [tex]Q\in CM[/tex]
Още веднъж, благодаря S.B.! Дано не съм объркал децата.
_________________
Нека отбележа и още нещо. До неотдавна, всеки резултат трябваше да бъде приведен в така наречения вид, удобен за логаритмуване. Поради развитието на изчислителния хардуер и софтуер изчислителните техники промениха този стил и етикетът на записа вече допуска по-голяма свобода.
Feci, quod potui, faciant meliora p0tentes.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
- Knowledge Greedy
- Професор
- Мнения: 2947
- Регистриран на: 20 Фев 2010, 11:40
- Рейтинг: 2830
Re: Сечение в пирамида
от S.B. » 20 Апр 2020, 07:17
Knowledge Greedy написа:
_________________
Нека отбележа и още нещо. До неотдавна, всеки резултат трябваше да бъде приведен в така наречения вид, удобен за логаритмуване. Поради развитието на изчислителния хардуер и софтуер изчислителните техники промениха този стил и етикетът на записа вече допуска по-голяма свобода.
Съгласна съм с Вас, но моето мнение е,че един отговор приведен във вид удобен за логаритмуване е много по - компактен и по - прегледен.Но ...въпросът е не само на "вкус" ,а и на възможности и знания - на владеене материала по тригонометрия
Никой любовен роман не е разплакал толкова много хора,колкото учебникът по математика.
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
Ако нещо мърда - това е биология,ако мирише -това е химия,ако има сила - това е физика,а ако нищо не разбираш - това е математика
5 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google Adsense [Bot], Google [Bot]