пирамида

[mon4eto]

Основата на пирамида е равнобедрен трапец,малката основа и бедрото на който имат дължина а,а острият му ъгъл е алфа.Всички околни ръбове на пирамидата определят с основата ъгъл бета.Да се намери разстоянието от върха на пирамидата до равнината на основата.

[Knowledge Greedy]

Основата на пирамида е ... Да се намери разстоянието от върха на пирамидата до равнината на основата.

Това означава, че се търси височината [tex]MO[/tex] на пирамидата [tex]ABCDM[/tex] - където [tex]ABCD[/tex] е трапецът на основата, точка [tex]O[/tex] е център на основата, [tex]M[/tex] е върхът на пирамидата.

Трапец равнобедрен с основа равна на бедрото.png (7.09 KiB) Прегледано 463 пъти

Щом всички околни ръбове определят с основата равни ъгли, то върхът на пирамидата се проектира ортогонално в центъра на описаната окръжност на основата.

Следователно, след като открием радиуса на основата, с една косинусова и с една синусова теорема, влизаме в правоъгълния триъгълник с катети височината и намерения радиус (хипотенузата е околен ръб) и с определението за тангенс намираме височината.

Реализация.
1) С косинусова теорема за [tex]\triangle BDC[/tex] откриваме диагонала [tex]BD=2mcos\frac{\alpha}{2}[/tex] (Може и с определението за синус в половината равнобедрен [tex]\triangle BDC[/tex] )

2) Със синусова теорема [tex]BD=2Rsin\alpha[/tex] ни дава радиуса [tex]R=\frac{m}{2cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]

3) От определението за [tex]tg\beta = \frac{h}{R}[/tex] в [tex]\triangle BOM[/tex] намираме [tex]h=\frac{mtg\beta}{2cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Гост]

Реализация.
1) С косинусова теорема за [tex]\triangle BDC[/tex] откриваме диагонала [tex]BD=2mcos\frac{\alpha}{2}[/tex] (Може и с определението за синус в половината равнобедрен [tex]\triangle BDC[/tex] )

А как се намира BD, защото нещо не ми се получава?

[Knowledge Greedy]

Реализация.
1) С косинусова теорема за ...

А как се намира BD, защото нещо не ми се получава?

Трапец равнобедрен с основа равна на бедрото 2.png (4.29 KiB) Прегледано 432 пъти

Описал съм го в края на първия ред по-горе на Реализация.

Половинката от равнобедрения [tex]\triangle BDC[/tex] има ъгъл при върха [tex]C[/tex], равен на половинката от [tex]\angle BCM = 180^\circ - \alpha[/tex], защото трапецът е вписан в окръжност. (А колко даваше сбора на срещуположните ъгли [tex]\angle A +\angle C[/tex] ? Точно така [tex]180^\circ[/tex], за това [tex]\angle BCD=180^\circ -\alpha[/tex] - а половината му е написана по-горе.)

И така, вече сме в правоъгълния [tex]\triangle BCM[/tex], на който хипотенузата е [tex]m[/tex], зеленият ъгъл е [tex]90^\circ - \frac{\alpha}{2}[/tex], а другият остър ъгъл е [tex]\angle MBC =\frac{\alpha}{2}[/tex]
Тогава, по определение [tex]\frac{MB}{BC}=cos \frac{\alpha}{2}[/tex]

Това е същото като [tex]\frac{MB}{m}=cos \frac{\alpha}{2}[/tex], следователно [tex]MB=mcos \frac{\alpha}{2}[/tex]

Но [tex]MB[/tex] е половинката от [tex]BD[/tex] - умножаваме по [tex]2[/tex] и получаваме цялото [tex]BD=2mcos \frac{\alpha}{2}[/tex]

______________
С косинусова теорема в [tex]\triangle BDC[/tex] се получава директно, но се иска малко тригонометрия.
[tex]BD^2=BC^2+CD^2-2BD.CD.cos(180-\alpha)[/tex]

[tex]BD^2=m^2+m^2-2m.m.cos(180-\alpha)[/tex]

[tex]BD^2=2m^2+2m^2cos\alpha[/tex] - последното защото [tex]cos (180^\circ -\alpha)=-cos\alpha[/tex]

[tex]BD^2=2m^2(1+cos\alpha)[/tex] - сега тригонометричната формула [tex]\frac{1+cos\alpha}{2}=cos^2\frac{\alpha}{2}[/tex]
И най-накрая - като коренуваме, ще получим това, което получихме по другия начин.