Сечение

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна пирамида с височина $h$ и двустенен ъгъл при основата [tex]\alpha[/tex].През средата на височината е построена равнина успоредна на два непресичащи се ръба.Определете вида и намерете лицето на полученото сечение.

[Knowledge Greedy]

В процеса на изработване на правдоподобен чертеж (поне като нагледно средство), с помощта на теорема на Талес и ТТП, стигаме до извода, че видът на полученото сечение е правоъгълник,
едната страна на който е третина на основния ръб, а другата - две третини от околния ръб. Следователно лицето [tex]S_{сеч}=\frac{1}{3}a\times \frac{2}{3}l=\frac{2}{9}al[/tex]

Основата [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранeн триъгълник със страна [tex]a[/tex]
Апотемата [tex]k[/tex] на околна стена е едното от рамената на дадения двустенен ъгъл [tex]\alpha[/tex] и тя [tex]k[/tex] се проектира ортогонално в радиус [tex]r[/tex] на вписаната в основата окръжност.
Т.е. [tex]\frac{r}{h}=cotg\alpha[/tex]

Но [tex]r[/tex] е една трета от височината на основата [tex]\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex], следователно [tex]\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=hcotg\alpha[/tex]
И едната страна - основата [tex]\frac{a}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}hcotg\alpha[/tex] на правоъгълника е открита.

Околния ръб намираме с питагорова теорема, с помощта на апотемата [tex]k=\frac{h}{sin\alpha}[/tex] и половината [tex]h\sqrt{3}cotg\alpha[/tex] на намерения вече основен ръб.
Резултатът: [tex]l=\frac{h}{sin\alpha}\sqrt{1+3cos^2\alpha}[/tex]

Отговор. [tex]S_{сеч}=\frac{2}{9}al=\frac{2\sqrt{3}}{3sin\alpha}\sqrt{1+3cos^2\alpha}[/tex]