Две равнини

[Гост]

Равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са успоредни. Докажете, че средите на всички отсечки [tex]AB[/tex], такива, че [tex]A\in \alpha , B\in \beta[/tex], са успоредни.

[Davids]

Изразът "средите на... са успоредни" не е математически коректен. Това, което вероятно се иска в задачата, е да се докаже, че всички среди лежат на една равнина, успоредна на $\alpha$ и $\beta$.

[DekataBG]

Равнините [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са успоредни. Докажете, че средите на всички отсечки [tex]AB[/tex], такива, че [tex]A\in \alpha , B\in \beta[/tex], са успоредни.

Моя грешка! Трябва да е: "лежат в една равнина".

[vezni]

Предлагам аналитично решение. Нека равнините са [tex]\alpha: ax+by+cz+d_1=0[/tex] и [tex]\beta: ax+by+cz+d_2=0[/tex]. Дефинираме равнина
[tex]\gamma:ax+by+cz+\frac{d_1+d_2}{2}=0[/tex]. Нека отсечката [tex]AB[/tex] има краища [tex]A=(x_1,y_1,z_1)[/tex] и [tex]B=(x_2,y_2,z_2)[/tex].
Средата ѝ е т. [tex]M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)[/tex]. Остава да проверим, че [tex]M[/tex] лежи в [tex]\gamma[/tex].
Тоест заместваме координатите на [tex]M[/tex] в уравнението на [tex]\gamma[/tex] и използваме [tex]A\in\alpha,B\in\beta[/tex].
Проверката оставям на теб.