Обем

[Гост]

В правилна триъгълна пирамида основният ръб е 2 см, а ъгълът между два околни е 90. Намерете лицето на околната повърхнината и обема на пирамидата.

[mail_dinko]

За да намерим обема са ни необходими лице на основата (това е лице на равностр. триъгълник - има готова формула, която сега не помня) и височина на пирамидата. За околната повърхнина ни трябва да намерим лицето на една от околните стени - равноб.тр.
Лице на основата:
[tex]P = 3.2 \Rightarrow p=3[/tex]
[tex]S_{\triangle ABC} = \sqrt {3.1.1.1} \rightarrow S_{\triangle ABC} = \sqrt {3}[/tex]
Построяваме височината MO, чиято пета съвпада с медицентъра на равностр. триъгълник.
PC - медиана, височина и ъглополовяща. От тук [tex]PB = \frac 12 . AB = 1[/tex]
От правоъгълния BPC намираме [tex]CP = \sqrt {BC^2- BP^2}= \sqrt {3}[/tex]
От това, че медицентърът дели медианата 2:1 считано от върха следва
[tex]PO = \frac {\sqrt {3}}{3}[/tex]
[tex]\triangle ABM[/tex] - равнобедрен правоъгълен по усл. Построяваме РМ
По питаг.т. се намира [tex]BM = \sqrt {\frac {AB^2}{2}} = \sqrt {2}[/tex]
Намираме [tex]PM = \sqrt {BM^2 - PB^2} = 1[/tex]
Отново по същата теорема
[tex]MO = \sqrt {PM^2 - PO^2}= \frac { \sqrt {6}}{3}[/tex]
[tex]V = \frac 13 B . h = \frac {\sqrt {2}}{3}[/tex]
S - Околна повърхнина
[tex]S = 3 S _ {\triangle ABM} = \frac {3}{\cancel {2}}. \cancel {(\sqrt {2})^2}=3[/tex]