Правилна пресечна пирамида

[Денката]

Зад 1.Височината на правилна пресечна пирамида е h околният ръб и диагоналът са наклонени към равнината на основата под ъгли alfa i beta намерете околната повърхнина на пирамидата.
Зад 2. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро alfa i ugul alfa намерете обема на пирамидата , ако петата на височината й съвпада с ортцентъра на основата.

[S.B.]

Зад 1.Височината на правилна пресечна пирамида е h околният ръб и диагоналът са наклонени към равнината на основата под ъгли alfa i beta намерете околната повърхнина на пирамидата.
Зад 2. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро alfa i ugul alfa намерете обема на пирамидата , ако петата на височината й съвпада с ортцентъра на основата.

Зад.1 Какъв многоъгълник е основата?
Зад.2 Да предположим,че бедрото е $a$ ,а не "alfa",къде в основата се намира [tex]\angle \alpha[/tex]? Между бедрата? При основата? Къде?
Това,че петата на височината съвпада с ортоцентъра не е достатъчно.
Изобщо не мога да разбера дали условията на задачите са преписвани "през дума" или "през повече думи"

[Денката]

Зад 1. Четриъгълна пирамида.
Зад 2. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро a и ъгъл а при върха. Околният ръб на пирамидата, който минава през върха на ъгъл а образува с равнината на основата също ъгъл а . Намерете обема на пидамидата , ако петата на височината й съвпада с ортцентъра на основата.

[S.B.]

Зад 1.Височината на правилна ЧЕТИРИЪГЪЛНАпресечна пирамида е h околният ръб и диагоналът са наклонени към равнината на основата под ъгли alfa i beta намерете околната повърхнина на пирамидата.

Без заглавие - 2020-06-22T112956.298.png (369.89 KiB) Прегледано 395 пъти

Нека основният ръб на долната основа е $a$ ,на горната основа е $b$, околният ръб е $l$,а апотемата $k$.
По диагоналите $AC$ и $A_{1 }C_{1 }$ построявам равнина,която пресича пресечената пирамида в равнобедрения трапец $ACC_{1 }A_{1 }$
От [tex]\triangle HCC_{1 } \rightarrow \frac{HC}{HC_{1 }} = cotg\alpha \Rightarrow HC = hcotg\alpha[/tex]
$\frac{HC_{1 }}{C_{1 }C} = sin\alpha \Rightarrow l = \frac{h}{sin\alpha}$
От $\triangle AHC_{1 }\rightarrow \frac{AH}{h} = cotg\beta \Rightarrow AH = hcotg\beta$
$AC = AH + CH = h(cotg\alpha + cotg\beta)$
$A_{1 }C_{1 } = AC - 2.HC = h(cotg\alpha + cotg\beta)- 2.hcotg\alpha \Rightarrow A_{1 }C_{1 } = h(cotg\beta - cotg\alpha)$
$AC = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{h}{\sqrt{2}}(cotg\alpha + cotg\beta)$ (защото е диагонал в квадрат със страна $a$)
Аналогично $b = \frac{h}{\sqrt{2}}(cotg\beta - cotg\alpha)$
От стената $ABB_{1 }A_{1 }\rightarrow KB_{1 }$ е апотема (височина в трапеца $ABB_{1 }A_{1 }$)
От $\triangle KBB_{1 } \rightarrow KB_{1 }^{2} = BB_{1 }^{2} - KB^{2} \Leftrightarrow k = \sqrt{l^{2} - (\frac{a-b}{2})^{2}}$
$\frac{a-b}{2} = \frac{h}{2\sqrt{2}}(cotg\alpha + cotg\beta - cotg\beta + cotg\alpha) = \frac{h}{2\sqrt{2}}2cotg\alpha = \frac{h\sqrt{2}}{2}cotg\alpha$
$k =\sqrt{l^{2} - \frac{2h^{2}}{4}cotg^{2}\alpha } = \sqrt{\frac{h^{2}}{sin^{2}\alpha} - \frac{h^{2}cos^{2}\alpha}{2sin^{2}\alpha}} = \frac{h}{sin\alpha}\sqrt{1 + sin^{2}\alpha}$
$S_{ок } = \frac{P_{1 } + P_{2 }}{2}.k$,където $P_{1 },P_{2 }$ са съответно периметрите на долната и горната основа,а $k$ е апотемата
Получихме $a = \frac{h}{\sqrt{2}}(cotg\alpha + cotg\beta) , b = \frac{h}{\sqrt{2}}(cotg\beta - cotg\alpha) , k = \frac{h}{sin\alpha}\sqrt{1 + sin^{2}\alpha}$
Остава за теб да заместиш във формулата и да получиш повърхнината.
Успех!

[S.B.]

Зад 2. Основата на пирамида е равнобедрен триъгълник с бедро $a$ и ъгъл при върха между бедрата [tex]\alpha[/tex]. Околният ръб на пирамидата, който минава през върха на ъгъл $\alpha $ образува с равнината на основата също ъгъл $\alpha$ . Намерете обема на пидамидата , ако петата на височината й съвпада с ортцентъра на основата.

Без заглавие - 2020-06-22T234624.874.png (363.42 KiB) Прегледано 380 пъти

Решаване на основата

$AM\bot BC , CN\bot AB ,AM\cap CN = H$ - т.$H$ е ортоцентъра на $\triangle ABC$
От $\triangle AMC \rightarrow $
$\frac{AM}{AC} = sin\alpha \Rightarrow AM = asin\alpha$

$\frac{CM}{AC} = cos\alpha \Rightarrow CM = acos\alpha$

От $\triangle NBC \rightarrow$
$\frac{NB}{CB} = sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow NB = asin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AB = 2asin\frac{\alpha}{2}$

$\triangle CHM\approx \triangle ABM \Rightarrow \displaystyle\frac{CH}{AB} = \displaystyle\frac{CM}{AM} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{CH}{2asin\displaystyle\frac{\alpha}{2}} = \displaystyle\frac{acos\alpha}{asin\alpha} \Rightarrow CH = 2asin\displaystyle\frac{\alpha}{2}cotg\alpha$

Пирамидата

От $\triangle HCD \rightarrow \displaystyle\frac{HD}{HC} = tg\alpha \Rightarrow HD = HCtg\alpha = 2asin\displaystyle\frac{\alpha}{2}.cotg\alpha.tg\alpha\Rightarrow HD = 2asin\displaystyle\frac{\alpha}{2}$

Обем:

$V = \displaystyle\frac{S_{ABC }.DH}{3} = \displaystyle\frac{1}{3} .\displaystyle\frac{a^{2}sin\alpha}{2}.2asin\displaystyle\frac{\alpha}{2} = ....$