За любителите на стереометрията

[Davids]

Дадена е правилна триъгълна призма $ABCA_1B_1C_1$, всички ръбове на която са равни помежду си. Точките $M$ и $N$ са среди съответно на $A_1C_1$ и $BB_1$. Да се намери косинусът на ъгъла между правите $AN$ и $CM$.

Задачата лично за мен беше голямо удоволствие и играчка, предоставям я с тънък личен апел към колежката @S.B., която ме е дарила с толкова стереометрични изживявания в този форум.

[S.B.]

Благодаря!Сега трябва да се грижа за внучката си.Може би по-късно тази вечер когато ще бъда на спокойствие у дома и ще имам компютър

[S.B.]

Дадена е правилна триъгълна призма $ABCA_1B_1C_1$, всички ръбове на която са равни помежду си. Точките $M$ и $N$ са среди съответно на $A_1C_1$ и $BB_1$. Да се намери косинусът на ъгъла между правите $AN$ и $CM$.

Задачата лично за мен беше голямо удоволствие и играчка, предоставям я с тънък личен апел към колежката @S.B., която ме е дарила с толкова стереометрични изживявания в този форум.

Без заглавие - 2020-06-22T195833.335.png (226.84 KiB) Прегледано 467 пъти

Правата $MC$ лежи в равнината $ACC_{1 }A_{1 }$, а правата $NA$ в равнината $ABB_{1 }A_{1 }$ Двете прави са кръстосани, а равнините в които лежат се пресичат в правата $AA_{1 }$.Нека т.[tex]P\in AA_{1 },AP = PA_{1 }[/tex]
В равнината $ACC_{1 }A_{1 }$ построявам $PK||CM$
В равнината $ABB_{1 }A_{1 }$ построявам $PB_{1 } || AN$ (на въпроса от къде съм сигурна,че права успоредна на $AN$ през $P$ ще мине през $B_{1 }$ отговарям ,че $P$ е среда на $AA_{1 }$, $N$ е среда на $BB_{1 }$)
В $\triangle B_{1 }PK \rightarrow \angle KPB_{1 } = \angle (CM,AN)$
Приемам,че ръбовете на призмата са = $1$
От $\triangle ABN\rightarrow AN = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
От $AP || NB_{1 }, AN || PB_{1 } \Rightarrow ANB_{1 }P$ е успоредник и $B_{1 }P = AN = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$\triangle CMC_{1 } \approx \triangle PKA$ ( ъгли с взаимно успоредни рамене)
$\displaystyle\frac{AK}{CM} = \displaystyle\frac{PA}{CC_{1 }} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{AK}{\displaystyle\frac{1}{2}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{1} \Rightarrow AK = \displaystyle\frac{1}{4} \Rightarrow KP = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{4}$
За $\triangle AKB$ прилагам Косинусова теорема:
$BK^{2} = AB^{2} + AK^{2} - 2.AB.AK.cos60^\circ \Leftrightarrow BK^{2} = 1 + \frac{1}{16} - 2.1.\frac{1}{4}.\frac{1}{2} = \frac{13}{16} \Rightarrow BK = \frac{\sqrt{13}}{4}$
От $\triangle BKB_{1 }\rightarrow KB_{1 } = \sqrt{1 + \frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{29}}{4}$
Нека $\angle KPB_{1 } = \varphi$
За $\triangle KPB$ прилагам Косинусова теорема:
$KB_{1 }^{2} = PK^{2} + PB_{1 }^{2} - 2.PK.PB_{1 }.cos\varphi \Leftrightarrow \frac{29}{16} = \frac{5}{16} + \frac{5}{4} - 2.\frac{\sqrt{5}}{2}.\frac{\sqrt{5}}{4}.cos\varphi$
$cos\varphi = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{29 - 20 - 5}{16}}{- \displaystyle\frac{5}{4}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{16}}{- \displaystyle\frac{5}{4}}$
$$cos\varphi = -\frac{1}{5}$$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела сметките!

[Davids]

Получих точно същия отговор! Макар и по доста по-увъртян начин. След това погледнах отговора на авторите и там пишеше $\frac{1}{5}$. Първоначално се учудих, поради което пуснах и задачата тук, понеже бях уверен на близо 100% в решението си. И най-накрая се усетих, че "ъгълът между двете прави" всъщност са два ъгъла с противоположни по знак косинуси! Знам, че по принцип се взима острият ъгъл, когато се има предвид "ъгъла между две прави", но дали ще признаят и обявения отговор за тъпия ъгъл като верен? Силно се надявам!

[S.B.]

Получих точно същия отговор! Макар и по доста по-увъртян начин. След това погледнах отговора на авторите и там пишеше $\frac{1}{5}$. Първоначално се учудих, поради което пуснах и задачата тук, понеже бях уверен на близо 100% в решението си. И най-накрая се усетих, че "ъгълът между двете прави" всъщност са два ъгъла с противоположни по знак косинуси! Знам, че по принцип се взима острият ъгъл, когато се има предвид "ъгъла между две прави", но дали ще признаят и обявения отговор за тъпия ъгъл като верен? Силно се надявам!

Би трябвало да признаят ,защото логичното в случая е да се избере ъгъла,който е вътре в призмата.В противен случай ще трябва да си признаят,че задачата е била зададена некоректно,защото не е уточнено косинусът на кой от ъглите се търси - на този вътре в призмата,на неговият съседен или "по принцип" и тогава може би отговорът трябваше да бъде [tex]-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}[/tex].Може и аз да греша,но така разбрах условието.