Вписана сфера

[S.B.]

През един връх на долната основа на правилна триъгълна призма и ръб на горната ѝ основа е построено сечение.Сфера с радиус $R$ се допира до долната основа,околните стени и равнината на сечението.Да се намери обемът на частта от призмата,заключена между равнината на сечението,горната основа и околните стени на призмата.

Скрит текст: покажи

Без заглавие - 2020-07-19T231101.954.png (279.25 KiB) Прегледано 665 пъти

[S.B.]

През един връх на долната основа на правилна триъгълна призма и ръб на горната ѝ основа е построено сечение.Сфера с радиус $R$ се допира до долната основа,околните стени и равнината на сечението.Да се намери обемът на частта от призмата,заключена между равнината на сечението,горната основа и околните стени на призмата.

Скрит текст: покажи

Прикачения файл Без заглавие - 2020-07-19T231101.954.png вече е недостъпен

Ето моето решение:

Без заглавие - 2020-07-27T222046.478.png (405.69 KiB) Прегледано 495 пъти

Ако се построи равнина през центъра на сферата и успоредна на основата на призмата,тя ще пресече сферата през голямата ѝ окръжност,която се проектира върху равнината на основата на призмата кaто вписана в равностранния триъгълник $ABC$ окръжност.
Центърът на тази окръжност лежи върху медицентъра на триъгълника т.$O_{1 }$
От свойството на медицентъра в [tex]\triangle ABC \Rightarrow \frac{1}{3}MC = MO_{1 }= R \Rightarrow O_{1 }C = 2R \Rightarrow MC = 3R[/tex]
Ако основният ръб на призмата е $a$,тогава $MC = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3R \Rightarrow a = 2\sqrt{3}R$
Построявам през медианите $MC$ и $M_{1 }C_{1 }$ сечението $MCC_{1 }M_{1 }$ - правоъгълник с диагонал $CM_{1 }$ в който сечението на сферата е окръжност вписана в правоъгълния $\triangle MCM_{1 }$ като допирните ѝ точки със страните $MC , CM_{1 },MM_{1 }$ са съответно $O_{1 },T,P$
Нека $MM_{1 } = h$
Тогава $PM_{1 } = TM_{1 } = h - R , O_{1 }C = CT = 2R$
За правоъгълния $\triangle MCM_{1 } \rightarrow MM_{1 } = h , MC = 3R , M_{1 }C = h + R$
Прилагам Питагор : $(h + R)^{2} = (3R)^{2} + h^{2} ....\Rightarrow h = 4R$
Обема на частта от призмата,която търсим е обемът на пирамидата $CA_{1 }B_{1 }C_{1 }$
$V_{CA_{1 }B_{1 }C_{1 } } = \frac{1}{3}\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.h = \frac{1}{3}\frac{(2\sqrt{3}R)^{2}\sqrt{3}}{4}.4R = 4\sqrt{3}R^{3}$