Правоъгълен паралелепипед

[S.B.]

В правоъгълния паралелепипед [tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } , AD = AA_{1 }[/tex] Диагоналите $AC_{1 }$ и $BD_{1 }$ имат големина $d$ и се пресичат в точка $O$,а $\angle AOB = \alpha$
През средите $K$ и $L$ съответно на ръбовете $AB$ и $BC$ да се построи сечение успоредно на $BD_{1 }$
Да се намери лицето на полученото сечение ако $tg\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

[KOPMOPAH]

Правоъгълен паралелепипед-3.png (35.45 KiB) Прегледано 629 пъти

Скрит текст: покажи

Краткостта е сестра на таланта, описанието - после

[S.B.]

Краткостта е сестра на таланта, описанието - после

Адмирации за чертежа!Особено за сполучливо подбрания от Вас цвят - така актуалния напоследък "електрик"!
Колкото до останалата част от решението Ви,ще Ви отговоря с цитат от "Граф Монте Кристо" - "Чакай и се надявай!"

Скрит текст: покажи

Отговор : [tex]S_{сеч. } = \frac{7\sqrt{6}d^{2}}{48}[/tex]

[S.B.]

В правоъгълния паралелепипед [tex]ABCDA_{1 }B_{1 }C_{1 }D_{1 } , AD = AA_{1 }[/tex] Диагоналите $AC_{1 }$ и $BD_{1 }$ имат големина $d$ и се пресичат в точка $O$,а $\angle AOB = \alpha$
През средите $K$ и $L$ съответно на ръбовете $AB$ и $BC$ да се построи сечение успоредно на $BD_{1 }$
Да се намери лицето на полученото сечение ако $tg\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Без заглавие - 2020-08-15T173239.046.png (375.12 KiB) Прегледано 518 пъти

Няма да описвам построението на сечението.Пръв представи прекрасен чертеж колегата KOPMOPAH и написа,че после ще опише построението.Оставям това удоволствие на него.Нека когато има желание и възможност да го направи.

Аз ще представя другата част на задачата - намиране повърхнината на полученото сечение.

Нека [tex]AB = a, BC = b ,AA_{1 } = c[/tex]
$tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}, cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
От $\triangle AOH \rightarrow \frac{a}{2} = \frac{d}{2}.sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow a = d.sin\frac{\alpha}{2} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$
$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , но $b = c = x \Rightarrow d^{2} = a^{2} + 2x^{2} \Rightarrow x^{2} =\displaystyle \frac{d^{2} - a^{2}}{2} \Leftrightarrow x^{2} =\displaystyle \frac{d^{2} - d^{2}.sin^{2} \displaystyle \frac{\alpha}{2}}{2} \Rightarrow$
$x^{2} = \displaystyle\frac{d^{2}(1 - sin^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2})}{2} = \displaystyle\frac{d^{2}.cos^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}{2} \Rightarrow x^{2}= \frac{d^{2}}{3}\Rightarrow x =\displaystyle \frac{d\sqrt{3}}{3} $
Получи се,че $a = b = c = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ или,че за $tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ паралелепипеда се превръща в куб с ръб $\frac{d\sqrt{3}}{3}$
$DB = \frac{d\sqrt{6}}{3}$ ,а от $\triangle DBD_{1 } \rightarrow \frac{DB}{D_{1 }B} = cos\varphi \Rightarrow cos\varphi = \frac{\sqrt{6}}{3}$
$ \frac{S_{AKLCD }}{S_{KLMNP }} = cos\varphi$
$ S_{\triangle KBL }$ $=\frac{1}{8}.S_{ABCD } \Rightarrow$
$S_{AKLCD } = \frac{7}{8}S_{ABCD } \Leftrightarrow S_{AKLCD } = \frac{7}{8}(\frac{d\sqrt{3}}{3})^{2} \Rightarrow S_{AKLCD } = \frac{7}{24}d^{2}$
$S_{AKLCD } = cos\varphi .S_{KLMNP } \Leftrightarrow \frac{7}{24}d^{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.S_{KLMNP } \Rightarrow$
$$S_{KLMNP } = \frac{7d^{2}\sqrt{6}}{48}$$