Перпендикулярност на права и равнина - задача с пирамида

[petrov02]

Здравейте! Започнах решаването на следната задача:
Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб АВ = 5[tex]\sqrt{2}[/tex] и околен ръб АQ = 13.
а) Ако О = AC \cap BD, намерете QO.
б) Ако М е среда на AQ и N е петата на перпендикуляра, спуснат от М към (ABCD), намерете MN.
С а) се справих и открих, че QO = 12, а диагоналите на основата са по 10 (АО = ОС = ВО = OD = 5). Как да подходя с б)? Къде точно се сключва прав ъгъл между MN и (ABCD)?

[S.B.]

Здравейте! Започнах решаването на следната задача:
Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб АВ = 5[tex]\sqrt{2}[/tex] и околен ръб АQ = 13.
а) Ако О = AC \cap BD, намерете QO.
б) Ако М е среда на AQ и N е петата на перпендикуляра, спуснат от М към (ABCD), намерете MN.
С а) се справих и открих, че QO = 12, а диагоналите на основата са по 10 (АО = ОС = ВО = OD = 5). Как да подходя с б)? Къде точно се сключва прав ъгъл между MN и (ABCD)?

Без заглавие - 2020-11-21T151238.661.png (316.45 KiB) Прегледано 449 пъти

Пирамидата е правилна и $AQ = BQ = CQ = DQ $,следователно върхът $Q$ се проектира върху центъра на описаната около $ABCD$ окръжност $O$ и $OQ\bot (ABCD)$
От [tex]QO\bot (ABCD) \Rightarrow QO \bot[/tex] на всяка права от равнината $\Rightarrow QO\bot AC$
Построяваш сечението $ACQ$ по $QO$ и $AC$
$MN\bot (ABCD) \Rightarrow MN \bot AC $ и $N\in AC$
$\begin{cases} QO\bot AC\\ MN\bot AC\end{cases} \Rightarrow MN||QO$
$M$ е среда на $AQ$ , $MN||OQ \Rightarrow N$ е среда на $AO \Rightarrow MN$ е средна отсечка за $\triangle AOQ \Rightarrow$
$MN = \frac{OQ}{2} \Rightarrow MN = 6$

[petrov02]

Здравейте! Започнах решаването на следната задача:
Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDQ с основен ръб АВ = 5[tex]\sqrt{2}[/tex] и околен ръб АQ = 13.
а) Ако О = AC \cap BD, намерете QO.
б) Ако М е среда на AQ и N е петата на перпендикуляра, спуснат от М към (ABCD), намерете MN.
С а) се справих и открих, че QO = 12, а диагоналите на основата са по 10 (АО = ОС = ВО = OD = 5). Как да подходя с б)? Къде точно се сключва прав ъгъл между MN и (ABCD)?

Без заглавие - 2020-11-21T151238.661.png

Пирамидата е правилна и $AQ = BQ = CQ = DQ $,следователно върхът $Q$ се проектира върху центъра на описаната около $ABCD$ окръжност $O$ и $OQ\bot (ABCD)$
От [tex]QO\bot (ABCD) \Rightarrow QO \bot[/tex] на всяка права от равнината $\Rightarrow QO\bot AC$
Построяваш сечението $ACQ$ по $QO$ и $AC$
$MN\bot (ABCD) \Rightarrow MN \bot AC $ и $N\in AC$
$\begin{cases} QO\bot AC\\ MN\bot AC\end{cases} \Rightarrow MN||QO$
$M$ е среда на $AQ$ , $MN||OQ \Rightarrow N$ е среда на $AO \Rightarrow MN$ е средна отсечка за $\triangle AOQ \Rightarrow$
$MN = \frac{OQ}{2} \Rightarrow MN = 6$

Много благодаря за решението! Нямаше никога да се сетя за средна отсечка в триъгълника (нищо, че предполагах, че т. N e от AC), бях се забутал да гледам ъгли и да търся начин да използвам теоремата на Питагор \in