Сфери в тетраедър

[Гост]

4 сфери са вписани в правилен тетраедър с ръб 1 по такъв начин, че всяка се допира до три стени на тетраедъра и до другите 3 сфери. Намерете радиуса на сферите

[Гост]

Ако означим радиусите на сферите с r, то от центровете и върховете им се образуват един правилен тетраедър със страна 2r.
Oбразуват се и четири пресечени пирамиди с височина r и основи равностранни триъгълници със страни 1 и 2r.
Обемът на началната пирамида е равен на сборът от обемите на тези 5 фигури. По този начин може да се състави уравнение за r.

roeder-riddler-0822-1.png (54.45 KiB) Прегледано 623 пъти

[Гост]

Друг вариант на решение на близка до предложената задача:
https://laurentlessard.com/bookproofs/a ... on-puzzle/

[Гост]

Който иска, може първо да потренира с двуизмерния вариант на тази задача:
В равностранен триъгълник със страна 1 са вписани 3 окръжности по такъв начин, че всяка се допира до 2 от страните на триъгълника и до другите 2 окръжности. Намерете радиуса на окръжностите.

[KOPMOPAH]

4 сфери са вписани в правилен тетраедър с ръб 1 по такъв начин, че всяка се допира до три стени на тетраедъра и до другите 3 сфери. Намерете радиуса на сферите

Подобна задача е решена тук.

[Гост]

Който иска, може първо да потренира с двуизмерния вариант на тази задача:
В равностранен триъгълник със страна 1 са вписани 3 окръжности по такъв начин, че всяка се допира до 2 от страните на триъгълника и до другите 2 окръжности. Намерете радиуса на окръжностите.

За произволен триъгълник тези окръжности се наричат окръжности на Малфати.
https://en.wikipedia.org/wiki/Malfatti_ ... te_note-13 в частта: Radius formula има формули за тези радиуси, но може да се разгледа лицето на равностранния триъгълник като сбор от лицата на 3 трапци с основи а, 2r и височини r и равностранен триъгълник със страна 2r. По този начин може да се получи зависимост между r и a.

Има в двумерния случай формула, при която за произволен триъгълник радиусът на вписаната окръжност се изразява чрез радиусите на окръжностите на Малфати https://mathworld.wolfram.com/MalfattiCircles.html (23)
Интересно ми е как ще изглежда тази формула в тримерното пространство.

[S.B.]

Подобна задача е решавана ТУК