намирам СС1 и АС1 и ВС1, а след това и височината СД

[uchenik75]

Бедрата на равнобедрен [tex]\Delta[/tex]АВС са по 9см, а основата му АС=12см. Бедрото АВ лежи в равнината [tex]\alpha[/tex], а проекциите на другите две страни върху [tex]\alpha[/tex] се отнасят както 1:2. Да се намери ъгълът между [tex]\alpha[/tex] и равнината на [tex]\Delta[/tex] ABC.
значи аз приемам С1 да ми е проекцията на т.С в/у [tex]\alpha[/tex], (т.С1 не трябва да лежи на АВ нали?) намирам СС1 и АС1 и ВС1, а след това и височината СД , обаче ми е инетресно кой ще е ъгълът ?

[Martin Nikovski]

Чертеж към задачата.

Drawing1.jpg (12.8 KiB) Прегледано 379 пъти

[tex]C\to^{\cyr{ort.pr.}}_{\alpha } C_1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CC_1\bot \alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CC_1\bot AC_1[/tex] и [tex]CC_1\bot BC_1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle AC_1C=\angle BC_1C=90^\circ[/tex]
[tex]\left. AC\to^{\cyr{ort.pr.}}_{\alpha } AC_1 \\ BC\to^{\cyr{ort.pr.}}_{\alpha } BC_1\\AC>BC \right\}\Rightarrow AC_1>BC_1[/tex] (по-голямата наклонена има по-голяма ортогонална проекция) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BC_1}{AC_1 }=\frac{1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC_1=2BC_1[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AC_1C[/tex] ([tex]\angle AC_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]AC_1^2+CC_1^2=AC^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](2BC_1)^2+CC_1^2=12^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4BC_1^2+CC_1^2=144[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BC_1C[/tex] ([tex]\angle BC_1C=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]BC_1^2+CC_1^2=BC^2=9^2=81[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}4BC_1^2+CC_1^2=144\\BC_1^2+CC_1^2=81 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]4BC_1^2+\cancel{CC_1^2}-BC_1^2-\cancel{CC_1^2}=144-81[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3BC_1^2=63[/tex]
[tex]BC_1^2=21[/tex]
От системата: [tex]BC_1^2+CC_1^2=81[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CC_1^2=81-BC_1^2=81-21=60[/tex]
[tex]\left. CC_1^2=60 \\ CC_1>0 \right\}\Rightarrow CC_1=\sqrt{60}=2\sqrt{15} cm[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta ABC[/tex]:
[tex]S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-AC)(p-BC)(p-AB)}[/tex] - Херонова формула
[tex]p= \frac{AC+BC+AB}{2 }=\frac{12+9+9}{2 } =\frac{\cancel{30}}{\cancel2 } =15cm[/tex]
[tex]S_{\Delta ABC}=\sqrt{15(15-12)(15-9)(15-9)}=\sqrt{15.3.6.6} =18\sqrt{5} cm^2[/tex]
Построяваме [tex]CD[/tex] - височина [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AB.CD}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CD=\frac{2S_{\Delta ABC}}{AB } =\frac{2.\cancel{18}\sqrt{5} }{\cancel9 }=4\sqrt{5} cm[/tex]

За да намерим ъгъла между две равнини, трябва да намерим мярката на двустениия ъгъл, образуван от тях. Това става като построим линеен на двустенния ъгъл и намерим неговата мярка. В случая търсим ъгъла между равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex]\alpha[/tex]. Да го означим с [tex]\varphi[/tex] (тъй като с [tex]\alpha[/tex] вече сме означили едната от двете равнини).
[tex]\angle ((ABC),\alpha )=\varphi[/tex]
За да построим линеен на двустенния ъгъл:
1. Определяме общата права на равнините [tex](ABC)[/tex] и [tex]\alpha[/tex] - в случая това е правата [tex]AB[/tex].
2. Построяваме две прави, перпендикулярни на [tex]AB[/tex], едната от които лежи в равнината [tex](ABC)[/tex], а другата - в равнината [tex]\alpha[/tex].
В равнината [tex](ABC)[/tex] вече имаме такава права - правата [tex]CD[/tex] ([tex]CD\bot AB[/tex]). Остава да построим права, перпендикулярна на [tex]AB[/tex], лежаща в равнината [tex]\alpha[/tex]. Ще докажем, че правата [tex]C_1D[/tex] е перпендикулярна на [tex]AB[/tex] с теоремата за трите перпендикуляра.
[tex]\left. C\notin \alpha \\ CC_1\bot \alpha \\ C_1\ne D \right\}\Rightarrow CD[/tex] не е перпендикулярна на [tex]\alpha[/tex] - през точка, нележаща на дадена равнина, можем да построим единствена права, перпендикулярна на равнината.
[tex]\left. CD\to^{\cyr{ort.pr.}}_{\alpha } C_1D \\ CD\bot AB \\ AB\in \alpha \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]C_1D\bot AB[/tex] - теорема за трите перпендикуляра.
[tex]\left. (ABC)\cap \alpha =AB\\ CD\bot AB \\ CD\in (ABC) \\ C_1D\bot AB \\ C_1D \in \alpha \right\}\Rightarrow \angle CDC_1[/tex] е линеен на двустенния [tex]\angle ((ABC),\alpha )=\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle CDC_1=\varphi[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta CC_1D[/tex]:

Чертеж на триъгълника, в който участва ъгълът между двете равнини.

Drawing2.jpg (6.37 KiB) Прегледано 379 пъти

[tex]CC_1\bot \alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CC_1\bot C_1D[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle CC_1D=90^\circ[/tex]
[tex]sin\angle CDC_1=\frac{CC_1}{CD }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin\varphi =\frac{\cancel{2}\cancel{\sqrt{15}}}{\cancel{4}\cancel{\sqrt{5}} }=\frac{\sqrt{3}}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\varphi =60^\circ[/tex]