Задача от стереометрия

[Гост]

Бедрата на равнобедрен триъгълник ABC са 9см. а основата AC=12см. . Бедрото AB лежи в ранината алфа, а ортогоналната проекция на другите две страни на триъгълника върху алфа се отнасят т.к. 1:2. Да се намери ъгълът между равнината алфа и триъгълника ABC.

[S.B.]

Бедрата на равнобедрен триъгълник ABC са 9см. а основата AC=12см. . Бедрото AB лежи в ранината алфа, а ортогоналната проекция на другите две страни на триъгълника върху алфа се отнасят т.к. 1:2. Да се намери ъгълът между равнината алфа и триъгълника ABC.

Без заглавие - 2021-02-28T221154.279.png (345.91 KiB) Прегледано 397 пъти

От чертеж 1:
[tex]\triangle ABM \rightarrow BM^{2} = AB^{2} - AM^{2} \Leftrightarrow BM = \sqrt{9^{2} - 6^{2}} \Rightarrow BM = 3\sqrt{5}[/tex]
$S_{ABC } = \frac{AC.BM}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{12.3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow S_{ABC } = 18\sqrt{5}$
$S_{ABC } = \frac{AB.CN}{2} \Leftrightarrow 18\sqrt{5} = \frac{9.CN}{2} \Rightarrow CN = 4\sqrt{5}$

От чертеж 2:
От $\triangle BHC \rightarrow CH^{2} = BC^{2} - BH^{2} \Leftrightarrow CH^{2} = 9^{2} - x^{2}$
От $\triangle AHC \rightarrow CH^{2} = AC^{2} - AH^{2} \Leftrightarrow CH^{2} = 12^{2} - (2x)^{2}$
$\Rightarrow 9^{2} - x^{2} = 12^{2} - 4x^{2} \Leftrightarrow 3x^{2} = 3.21 \Rightarrow x^{2} = 21 \Rightarrow x = \sqrt{21}$
От $\triangle BHC \rightarrow CH^{2} = 9^{2} - 21 \Leftrightarrow CH^{2} = 60 = 4.15\Rightarrow CH = 2\sqrt{15}$
От $\triangle HNC \rightarrow sin\varphi = \frac{HC}{NC} \Leftrightarrow$
$sin\varphi = \frac{2\sqrt{15}}{4\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}\sqrt{3}}{4\sqrt{5}} \Rightarrow sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^\circ$