Четириъгълна пирамида

[Henz]

В правилна четириъгълна пирамида околният ръб сключва с основата ъгъл с големина 45.Да се намери тангенсът на ъгъла между две съседни околни стени на пирамидата.

Никаква идея!

[dweer]

Давам ти насока .. означи основния ръб с х , намери диагонал и го изрази чрез х .. от това че околния ръб сключва с основата ъгъл 45 градуса => че височината е = 1/2 от диагонала и го изразяваш чрез х след това намираш околния ръб , след това в две съседни околни стени изрази чрез х височините спуснати към общия околен ръб .. примерно от т. D перпендикуляр към CM и от т. B перпендикуляр към CM и ти остава една косин теорема да приложиш за получения триъгълник

[Martin Nikovski]

Чертеж към задачата.

Drawing.jpg (13.25 KiB) Прегледано 5024 пъти

Имаме, че [tex]ABCDM[/tex] е правилна пирамида [tex]\Rightarrow[/tex] върхът [tex]M[/tex] се проектира ортогонално върху основата [tex]ABCD[/tex] в точка [tex]O[/tex], която е център на основата, т.е. пресечна точка на диагоналите на квадрата [tex]ABCD[/tex].
[tex]\left. M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O \\ A\in (ABCD) \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]AM\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} AO[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ъгълът между околния ръб [tex]AM[/tex] и основата [tex]ABCD[/tex] е всъщност ъгълът между [tex]AM[/tex] и ортогоналната проекция [tex]AO[/tex]. Иначе казано: [tex]\angle (AM, (ABCD))=\angle (AM,AO)=\angle MAO=45^\circ[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOM[/tex]:
[tex]M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle AOM=90^\circ[/tex]
[tex]AO=\frac{AC}{2 } =\frac{a\sqrt{2} }{2 }[/tex], тъй като [tex]AC[/tex] е диагонал в квадрата [tex]ABCD[/tex] със страна [tex]a[/tex].
[tex]\angle MAO=45^\circ[/tex]
[tex]cos \angle MAO=\frac{AO}{AM }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=\frac{AO}{cos \angle MAO } =\frac{\frac{a\sqrt{2} }{2 }}{cos 45^\circ }=\frac{\frac{a\cancel{\sqrt{2}} }{\cancel2 } }{\frac{{\cancel{\sqrt{2}}} }{\cancel2 } }=a[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta ABM[/tex]:
[tex]ABCDM[/tex] - правилна пирамида [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=BM=a[/tex] - по доказателство.
[tex]AM=BM=AB=a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta ABM[/tex] е равностранен.
Разглеждаме [tex]\Delta ADM[/tex]:
[tex]ABCDM[/tex] - правилна пирамида [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=DM=a[/tex] - по доказателство.
[tex]AM=DM=AD=a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta ADM[/tex] е равностранен.
[tex]\Delta ABM[/tex] и [tex]\Delta ADM[/tex] - равностранни
[tex]AB=AD=a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta ABM[/tex] и [tex]\Delta ADM[/tex] са еднакви.
Построяваме [tex]BH[/tex] - височина в [tex]\Delta ABM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BH[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow[/tex] точка [tex]H[/tex] е среда на [tex]AM[/tex]
Tочка [tex]H[/tex] е среда на [tex]AM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]DH[/tex] е медиана в [tex]\Delta ADM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]DH[/tex] е височина към [tex]AM[/tex].
[tex]\left. (ABM)\cap (ADM)=AM \\ BH,DH\bot AB (\cyr{visochini}) \\ BH\in (ABM) \\ DH \in (ADM) \right\}\Rightarrow \angle BHD[/tex] е линеен на двустенния [tex]\angle ((ABC),(ADM))=\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BHD=\alpha[/tex]
Търсим: [tex]tg\alpha =?[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ABM[/tex] - равностранен със страна [tex]a[/tex].
[tex]BH[/tex] - медиана в [tex]\Delta ABM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BH=\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex] - формула, която лесно се извежда с Питагорова теорема за [tex]\Delta AHB[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta ADM[/tex] - равностранен със страна [tex]a[/tex].
[tex]DH[/tex] - медиана в [tex]\Delta ADM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]DH=\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta BHD[/tex]:
[tex]BH=DH=\frac{a\sqrt{3} }{2 }[/tex]
[tex]BD=a\sqrt{2}[/tex] - диагонал в квадрата [tex]ABCD[/tex] със страна [tex]a[/tex].
[tex]cos[/tex] [tex]T[/tex]: [tex]cos\angle BHD=\frac{BH^2+DH^2-BD^2}{2BH.DH }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos \alpha =\frac{(\frac{a\sqrt{3} }{2 })^2+(\frac{a\sqrt{3} }{2 })^2-(a\sqrt{2})^2 }{2\frac{a\sqrt{3} }{2 }.\frac{a\sqrt{3} }{2 }}=\frac{\frac{3a^2}{4 }+ \frac{3a^2}{4 }-2a^2}{2.\frac{3a^2}{4 } }=[/tex]
[tex]=\frac{\frac{3a^2+3a^2-8a^2}{\cancel4 } }{\frac{6a^2}{\cancel4 } }=\frac{-2\cancel{a^2}}{6\cancel{a^2} } =\frac{-\cancel2}{\cancel6 }=-\frac{1}{3 }[/tex]
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin^2\alpha =1-cos^2\alpha =1-(-\frac{1}{3 })^2=1-\frac{1}{9 } =\frac{8}{9 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin \alpha =\sqrt{\frac{8}{9 }}=\frac{2\sqrt{2}}{3 }[/tex]
[tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha } =\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\cancel3 }}{-\frac{1}{\cancel3 } } =-2\sqrt{2}[/tex]

[Henz]

Човек златен си просто. Така добре и подробно си я описал че нямам думи.

Имам един тъп въпрос ама нямам откъде да го прочета.AM е ортогонална проекция на AO,това значи ли че са равни правите?И ортогонална проекция на отсечка как точно се образува?В смисъл такъв защо AM е ортогонална проекция на AO?

[Henz]

Tочка [tex]H[/tex] е среда на [tex]AM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]DH[/tex] е медиана в [tex]\Delta ADM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]DH[/tex] е височина към [tex]AM[/tex].
[tex]\left. (ABM)\cap (ADM)=AM \\ BH,DH\bot AB (\cyr{visochini}) \\ BH\in (ABM) \\ DH \in (ADM) \right\}\Rightarrow \angle BHD[/tex] е линеен на двустенния [tex]\angle ((ABC),(ADM))=\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BHD=\alpha[/tex]

Това също не го разбирам защо се получава?

[Martin Nikovski]

Ортогонална проекция на права върху равнина е изображението на правата върху равнината чрез ортогонално проектиране. Тоест: вземаме две точки от правата и ги проектираме ортогонално върху равнината. Иначе казано, спускаме перпендикуляри от тези точки към равнината. Получават се две точки, които образуват нова права, лежаща в равнината - това е ортогоналната проекция на първоначалната права.
1. Ако точка не лежи на дадена равнина, нейната ортогонална проекция върху равнината е петата на перпендикуляра, спуснат от точката към равнината.
2. Ако точка лежи на дадена равнина, нейната ортогонална проекция върху равнината съвпада със самата точка (т.е. точката се проектира в себе си).

Точките [tex]A[/tex] и [tex]M[/tex] определят правата [tex]AM[/tex] - значи, за да построим ортогоналната проекция на [tex]AM[/tex], трябва да построим ортогоналните проекции на точките [tex]A[/tex] и [tex]M[/tex].
В конкретния случай знаем, че точка [tex]M[/tex] се проектира в точка [tex]O[/tex] (защото пирамидата е правилна). Точка [tex]A[/tex] лежи в равнината [tex](ABCD)[/tex], откъдето следва, че се проектира в себе си (ортогоналната й проекция е точка [tex]A[/tex]).
[tex]\left. A\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} A \\ M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]AM\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} AO[/tex]

[Martin Nikovski]

За да намерим ъгъла между две равнини, трябва да намерим мярката на двустениия ъгъл, образуван от тях. Това става като построим линеен на двустенния ъгъл и намерим неговата мярка. В случая търсим ъгъла между равнините [tex](ABM)[/tex] и [tex](ADM)[/tex]. Да го означим с [tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle ((ABM),(ADM) )=\alpha[/tex]
За да построим линеен на двустенния ъгъл:
1. Определяме общата права на равнините [tex](ABM)[/tex] и [tex](ADM)[/tex] - в случая това е правата [tex]AM[/tex].
2. Построяваме две прави, перпендикулярни на [tex]AM[/tex], едната от които лежи в равнината [tex](ABM)[/tex], а другата - в равнината [tex](ADM)[/tex].
В равнината [tex](ABM)[/tex] такава е правата [tex]BH[/tex] ([tex]BH\bot AB[/tex]) - понеже е височина в [tex]\Delta ABM[/tex].
В равнината [tex](ADM)[/tex] такава е правата [tex]DH[/tex] ([tex]DH\bot AB[/tex]) - понеже е височина в [tex]\Delta ADM[/tex].
Оттук следва, че линейният ъгъл на двустенния [tex]\angle ((ABM),(ADM) )=\alpha[/tex] е образуван от пресичането на правите [tex]BH[/tex] и [tex]DH[/tex], т.е. това е [tex]\angle BHD[/tex], откъдето следва, че [tex]\angle BHD=\alpha[/tex].

[Henz]

[tex]\left. A\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} A \\ M\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} O \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]AM\to^{\cyr{ort.pr.}}_{(ABCD)} AO[/tex]

Ясно е по-горното само още един въпрос.
Това значи ли че [tex]AM=AO[/tex]?

[Martin Nikovski]

Не, [tex]AM\ne AO[/tex]. Ако видиш [tex]\Delta AOM[/tex], който е правоъгълен ([tex]\angle AOM=90^\circ[/tex]), ще забележиш, че [tex]AM[/tex] е хипотенуза, а [tex]AO[/tex] е катет [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM>AO[/tex].

[Henz]

Е аз да питам за всеки случай. Мерси за обясненията.

[mkmarinov]

Златно правило: при ъгъл между две съседни околни стени се работи с половинката му в правоъгълният триъгълник (в този случай BOH).
БОО основният ръб=1.
[tex]DO=AO=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]OH -> AC (ABC); AC \bot BD => OH \bot BD[/tex] (ТТП), O е среда на BD => OH става и ъглополовяща на алфа.
=> [tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{BO}{OH}[/tex]
[tex]\triangle ACM: AM=1[/tex] (правоъгълен и равнобедрен с хипотенуза [tex]AC=\sqrt{2}[/tex])
=> ABM - равностранен триъгълник със страна 1.
BH - височина в равностранен триъгълник => [tex]BH=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\triangle BOH: \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{BO}{BH}=\sqrt{\frac{2}{3}}[/tex]
[tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}}}=\sqrt{2}[/tex]
[tex]tg\alpha=\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}=-2\sqrt{2}[/tex]
--------------
По-лесно е да се намери ОН вместо ВН - по построение АМ е перпендикулярна на цялата равнина BDH => AM е перпендикулярна на ОН => триъгълник ОАН е правоъгълен (и равнобедрен). Тогава директно излиза тангенса на половинката.

[ver4eto_vr]

Ъгълът между две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида е 120^\circ , а основният и ръб е а.Намерете околния ръб на пирамидата. Моля ви помогнете ми с тази задача.Благодаря ви предварително!

[emil3993]

Добра задача.

[Knowledge Greedy]

Явно събитията ще се развият в перпендикулярно на околния ръб сечение - там където се срещат перпендикуляри към околния ръб, образуващи ъгъла между две съседни околни стени, с дадената мярка [tex]120^\circ[/tex].

Една задача на ver4eto_vr Нед Юни 19 _ 2011_ 9_42 pm.png (7.65 KiB) Прегледано 3637 пъти

Това удобно сечение е [tex]\Delta DBV[/tex] - защото знаем [tex]BD=a\sqrt{2}[/tex], като диагонал на квадрата на основата. В неговата част - правоъгълния [tex]\Delta BON[/tex]
по определение [tex]\frac{ON}{OB}=cotg60^\circ[/tex]
Следователно [tex]\frac{ON}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
Оттук [tex]ON=\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex]
Сега влизаме в правоъгълния [tex]\Delta CVO[/tex], известен със свои две отсечки [tex]CO[/tex] и [tex]ON[/tex], и излизаме със [tex]CV=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex] - търсеният околният ръб.
____________
Примерна техника за смятане - виж зелените ъгли на чертежа. Явно [tex]\angle VOC=\angle CON[/tex] тъй като и двата допълват един и същи ъгъл - [tex]\angle OC(N)V[/tex] до [tex]90^\circ[/tex]. Означаваме всеки от тях с [tex]\theta[/tex] - зелените ъгли в чертежа . Явно [tex]cos \theta =\frac{ON}{OC}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex]
Следователно [tex]sin \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
От друга страна [tex]sin \theta =\frac{OC}{CV}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{CV}[/tex] и след приравняване на [tex]\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex], получаваме [tex]CV[/tex].

[emil3993]

Имах предвид горната.

[Knowledge Greedy]

Ааа, добре! Интересувай се! Предците ни са правили и по-добри неща от нас. И по-яки, и по-трайни. (Без да ги идеализираме и да изпадаме в крайности, разбира се )