Екстремална задача

[Гост]

Може ли помощ с тази екстремална задача

[S.B.]

Без заглавие - 2021-03-17T184708.244.png (224.76 KiB) Прегледано 295 пъти

От [tex]AD = BD = 2 \rightarrow AC = BC[/tex] защото $AC$ и $BC$ са проекции съответно на $AD$ и $BD$
От $\triangle ACD \rightarrow AC = \sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow BD = AD = \sqrt{3}$
От $\triangle MBD \rightarrow \frac{BM}{BD} = sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow BM = 2sin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow AB = 4sin\frac{\alpha}{2}$
От $\triangle MBC \rightarrow$
$ CM = \sqrt{BC^{2} - BM^{2}} = \sqrt{3 - 4sin^{2}\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{3 - 2(1-cos\alpha)} = \sqrt{3 - 2 + 2cos\alpha} = \sqrt{1 + 2cos\alpha}$
$ V = \frac{1}{3}.S_{ABC }.CD$
$S_{ABC } = \frac{AB.CM}{2} = \frac{4sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 + 2cos\alpha}}{2} = 2sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 + 2cos\alpha} , CD = 1$
$V(\alpha) = \frac{2}{3}sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 + 2cos\alpha}$
$V'(\alpha) = \frac{2}{3}cos\frac{\alpha}{2}.\frac{1}{2}.\sqrt{1 + 2cos\alpha} + \frac{2}{3}.sin\frac{\alpha}{2}.\frac{(- 2sin\alpha)}{2\sqrt{1 + 2cos\alpha}} = $

$ = \frac{2}{3}( \frac{cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 + 2cos\alpha}}{2} - \frac{4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{1 + 2cos\alpha}}) = $

$= \frac{2}{3}(\frac{cos\frac{\alpha}{2}(1 + 2cos\alpha) - 4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{2\sqrt{1 + 2cos\alpha}}) = \frac{2cos\frac{\alpha}{2}}{6\sqrt{1 + 2cos\alpha}}[1 + 2cos\alpha - 2(1 - cos\alpha)] = $

$= \frac{cos\frac{\alpha}{2}}{3\sqrt{1 + 2cos\alpha}}(1 + 2cos\alpha - 2 + 2cos\alpha) = \frac{cos\frac{\alpha}{2}}{3\sqrt{1 + 2cos\alpha}}(4cos\alpha - 1) = 0$
$\frac{cos\frac{\alpha}{2}}{3\sqrt{1 + 2cos\alpha}} = 0 \Leftrightarrow cos\frac{\alpha}{2} = 0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}\Rightarrow \alpha = \pi$
Това не е възможно,защото сборът от всички ъгли в $\triangle ADB$ е $\pi$
$4cos\alpha = 1 \Rightarrow cos\alpha = \frac{1}{4}$
За $cos\alpha = \frac{1}{4}$ обемът $V(\alpha) $ има екстремална стойност.
След като намерите $V''(\alpha) $ и за $cos\alpha = \frac{1}{4} $ втората производна е отрицателна,тогава може да се твърди ,че за $cos\alpha = \frac{1}{4}$ обемът е максимален.