Пирамида

[Гост]

Основата на триъгълна пирамида $ABCM$ е равнобедрен правоъгълен триъгълник $ABC$ с хипотенуза $AB=15\sqrt2$. Околният ръб $MC$ е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина $8$ $cm$. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

Нека пирамидата е $ABCM$, а върхът се проектира върху равнината на основата в точка $H$.
Обемът на пирамидата се дава с формулата $$V=\dfrac13. B.H,$$т.е. търсим лицето на основата и височината на пирамидата. Тя не е правилна по условие, но не можем и да докажем, че е, защото това просто не е вярно (основата не е равностранен триъгълник!). От правоъгълния триъгълник, който служи за основа, с Питагор може да намерим, че катетите са $AC=BC=15$. Сега не виждам как да намеря височината. $H$ не е център на триъгълника, а в правоъгълните $\triangle MHC, \triangle AHM$ и т.н. се съдържа отсечка, съединяваща $H$ и връх на триъгълника. Перпендикулярността на $MC$ с равнината $(ABC)$ прави околните стени $\triangle ACM, \triangle BCM$ правоъгълни триъгълници, за които е в сила питагоровото равенство, от което получаваме околните ръбове $AM=BM=17$. Всъщност тези два триъгълника са еднакви правоъгълни по първи признак.

[S.B.]

Основата на триъгълна пирамида $ABCM$ е равнобедрен правоъгълен триъгълник $ABC$ с хипотенуза $AB=15\sqrt2$. Околният ръб $MC$ е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина $8$ $cm$. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

Без заглавие - 2021-04-20T204848.209.png (274.26 KiB) Прегледано 489 пъти

[tex]MC \bot (ABC) \Rightarrow[/tex]върхът $М$ се проектира в т.$C$ и $MC$ е височината на пирамидата.
Нека т.$N$ е среда на $AB$ тогава $NC$ се проектира върху медианата на [tex]\triangle ABC[/tex],която е и негова височина,тъй като е равнобедрен правоъгълен и [tex]\Rightarrow CN = \frac{15 \sqrt{2} }{2}[/tex]
За обема [tex]V_{ABCDM } = \frac{1}{3}. S_{ABC }.CM[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.CN}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} 15 \sqrt{2}. \frac{15 \sqrt{2} }{2} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{225}{2}[/tex]
[tex]V_{ABCM } \frac{1}{3}. \frac{225}{2}.8 \Rightarrow V_{ABCM } = 300[/tex]
[tex]S_{ABCM } = S_{ \triangle ABC } + S_{ \triangle ACM } + S_{ \triangle BCM} + S_{ \triangle ABM}[/tex]
[tex]S_{ \triangle ABC} = \frac{225}{2}[/tex]
[tex]S_{ \triangle ACM} = S_{ \triangle BCM} = \frac{15.8}{2} = 60[/tex]
За [tex]S_{ \triangle ABM} = \frac{AM.CN}{2}[/tex]
От [tex]\triangle NCM[/tex] по Питагор намирам [tex]MN = \sqrt{ CM^{2} + CN^{2} } = \sqrt{64 + \frac{225}{2} } = \sqrt{ \frac{353}{2} } \Rightarrow S_{ABM } = \frac{15 \sqrt{353} }{2}[/tex]
[tex]S_{ABCM } = \frac{225}{2} + 120 + \frac{15 \sqrt{353} }{2} = \frac{465 + 15 \sqrt{353} }{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

На мене ми се струва ,че задачата не е нищо особено и не би трябвало да е в "Състезания 9 - 12 клас" По скоро е за "Помогнете ми за домашното 12 клас" или просто в "Стереометрия"

[Гост]

Основата на триъгълна пирамида $ABCM$ е равнобедрен правоъгълен триъгълник $ABC$ с хипотенуза $AB=15\sqrt2$. Околният ръб $MC$ е перпендикулярен на равнината на основата и има дължина $8$ $cm$. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.

Без заглавие - 2021-04-20T204848.209.png

[tex]MC \bot (ABC) \Rightarrow[/tex]върхът $М$ се проектира в т.$C$ и $MC$ е височината на пирамидата.
Нека т.$N$ е среда на $AB$ тогава $NC$ се проектира върху медианата на [tex]\triangle ABC[/tex],която е и негова височина,тъй като е равнобедрен правоъгълен и [tex]\Rightarrow CN = \frac{15 \sqrt{2} }{2}[/tex]
За обема [tex]V_{ABCDM } = \frac{1}{3}. S_{ABC }.CM[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.CN}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} 15 \sqrt{2}. \frac{15 \sqrt{2} }{2} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{225}{2}[/tex]
[tex]V_{ABCM } \frac{1}{3}. \frac{225}{2}.8 \Rightarrow V_{ABCM } = 300[/tex]
[tex]S_{ABCM } = S_{ \triangle ABC } + S_{ \triangle ACM } + S_{ \triangle BCM} + S_{ \triangle ABM}[/tex]
[tex]S_{ \triangle ABC} = \frac{225}{2}[/tex]
[tex]S_{ \triangle ACM} = S_{ \triangle BCM} = \frac{15.8}{2} = 60[/tex]
За [tex]S_{ \triangle ABM} = \frac{AM.CN}{2}[/tex]
От [tex]\triangle NCM[/tex] по Питагор намирам [tex]MN = \sqrt{ CM^{2} + CN^{2} } = \sqrt{64 + \frac{225}{2} } = \sqrt{ \frac{353}{2} } \Rightarrow S_{ABM } = \frac{15 \sqrt{353} }{2}[/tex]
[tex]S_{ABCM } = \frac{225}{2} + 120 + \frac{15 \sqrt{353} }{2} = \frac{465 + 15 \sqrt{353} }{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

На мене ми се струва ,че задачата не е нищо особено и не би трябвало да е в "Състезания 9 - 12 клас" По скоро е за "Помогнете ми за домашното 12 клас" или просто в "Стереометрия"

Благодаря за отделеното време и обяснение. Никога не бих си позволил, без значение колко съм вещ в дадена област, да определям нещо като "нищо особено" и "фасулска работа". Хората сме различни и съответно Вашите представи за лесна задача и моите са различни. Благодаря, че и двете ми теми бяха преместени в правилните раздели. Всичко добро! Не разбирам червения ред. За мен въобще не беше очевидно, че $$S_{\triangle ABM}=\dfrac12AB.MN$$ А всъщност това е така, защото $CN\perp AB$ като медиана, но и съответно височина в равнобедрения $ABC$. $CN$ е всъщност проекцията на $MN$ в равнината на основата и тъй като проекцията е перпендикулярна на $AB$ от равн. на основата, то и наклонената $MN$ е, което я прави и височина в околната стена. Не бих се сетил и да си намеря средата на хипотенузата на чертежа.

[Гост]

Скрит текст: покажи

Основите на стереометричното познание се полагат вече в десети клас.

[S.B.]

Благодаря за отделеното време и обяснение. Никога не бих си позволил, без значение колко съм вещ в дадена област, да определям нещо като "нищо особено" и "фасулска работа". Хората сме различни и съответно Вашите представи за лесна задача и моите са различни. Благодаря, че и двете ми теми бяха преместени в правилните раздели. Всичко добро! Не разбирам червения ред. За мен въобще не беше очевидно, че $$S_{\triangle ABM}=\dfrac12AB.MN$$ А всъщност това е така, защото $CN\perp AB$ като медиана, но и съответно височина в равнобедрения $ABC$. $CN$ е всъщност проекцията на $MN$ в равнината на основата и тъй като проекцията е перпендикулярна на $AB$ от равн. на основата, то и наклонената $MN$ е, което я прави и височина в околната стена. Не бих се сетил и да си намеря средата на хипотенузата на чертежа.

Уважаеми Гост,
В моя речник не фигурира израз като "фасулска работа" и аз никъде не съм го употребила.Този израз не отговаря нито на възпитанието ми нито на манталитета ми.Това е израз от Вашия речник и Ви моля да не ми го вменявате!Нещо повече - аз не съм коментирала никъде Вашите разсъждения,а Ви представих моето решение на задачата .
Колкото до забележката ми,че поставената тема от Вас не съответства по трудност на раздела в който сте я публикували - това отговаря на правилата във форума.Ако прочетете темите в раздел "Състезания 9 - 12 клас" ще се убедите,че Вашата тема нито е давана на състезание,нито би могла да бъде дадена.
Вие сте Гост във форума.Потърсихте помощ и я получихте.И през ум не ми е минавало да Ви унижавам.
Приветствам Ви с Добре дошъл във форума!Чувствайте се като у дома си,но не забравяйте,че сте на гости!Има правила с които трябва да се съобразявате!

[S.B.]

Скрит текст: покажи

Основите на стереометричното познание се полагат вече в десети клас.

Грешиш!Основите се полагат в 6 клас.

[Гост]

Благодаря за отделеното време и обяснение. Никога не бих си позволил, без значение колко съм вещ в дадена област, да определям нещо като "нищо особено" и "фасулска работа". Хората сме различни и съответно Вашите представи за лесна задача и моите са различни. Благодаря, че и двете ми теми бяха преместени в правилните раздели. Всичко добро! Не разбирам червения ред. За мен въобще не беше очевидно, че $$S_{\triangle ABM}=\dfrac12AB.MN$$ А всъщност това е така, защото $CN\perp AB$ като медиана, но и съответно височина в равнобедрения $ABC$. $CN$ е всъщност проекцията на $MN$ в равнината на основата и тъй като проекцията е перпендикулярна на $AB$ от равн. на основата, то и наклонената $MN$ е, което я прави и височина в околната стена. Не бих се сетил и да си намеря средата на хипотенузата на чертежа.

Уважаеми Гост,
В моя речник не фигурира израз като "фасулска работа" и аз никъде не съм го употребила.Този израз не отговаря нито на възпитанието ми нито на манталитета ми.Това е израз от Вашия речник и Ви моля да не ми го вменявате!Нещо повече - аз не съм коментирала никъде Вашите разсъждения,а Ви представих моето решение на задачата .
Колкото до забележката ми,че поставената тема от Вас не съответства по трудност на раздела в който сте я публикували - това отговаря на правилата във форума.Ако прочетете темите в раздел "Състезания 9 - 12 клас" ще се убедите,че Вашата тема нито е давана на състезание,нито би могла да бъде дадена.
Вие сте Гост във форума.Потърсихте помощ и я получихте.И през ум не ми е минавало да Ви унижавам.
Приветствам Ви с Добре дошъл във форума!Чувствайте се като у дома си,но не забравяйте,че сте на гости!Има правила с които трябва да се съобразявате!

Не знам дали имате спомен от това колко трудно е поставянето на началото на изучаването на стереометрията в училищния курс. Поне за мен и хората, които познавам, беше такова. С течение на времето всичко "уляга" и се нарежда. Въпросът не беше до това дали се опитвате да ме унижавате, или не. Няма нищо унизително в това човек да потърси помощ от по-знаещите от него, а напротив, достойно е за уважение и подкрепа. И не виждам как използването на израза "фасулска работа" е признак на лошо възпитание и манталитет на необразован човек? Както и да е. Доколкото знам, при изграждането на всяка научна дисциплина се използва аксиоматичният подход. И опит за аксиоматично изграждане на стереометрията се прави чак в десети клас.