Пресечена пирамида

[Гост]

СПЕШНО Не мога да реша тази задача и ще се радвам някого да ми помогне
ABCDA1B1C1D1 е правилна четириъгълна пресечена пирамида с основни ръбове a и b и околен ръб l. Равнината λ минава през точка M (среда на BB1) , през ръба AD и пресича CC1 в точка N , като разделя пирамидата на две тела a=5 ,b=1 , l=4[tex]\sqrt{3}[/tex] Пресметнете:
А) ∢((A,B,C),λ).
Б) обемите на двете тела.
В) лицата на повърхнините на двете тела.
Г) d(D,λ)
Д)∢(CC1,λ)
Е) ∢(B1D1,BA1)

[S.B.]

СПЕШНО Не мога да реша тази задача и ще се радвам някого да ми помогне
ABCDA1B1C1D1 е правилна четириъгълна пресечена пирамида с основни ръбове a и b и околен ръб l. Равнината λ минава през точка M (среда на BB1) , през ръба AD и пресича CC1 в точка N , като разделя пирамидата на две тела a=5 ,b=1 , l=4[tex]\sqrt{3}[/tex] Пресметнете:
А) ∢((A,B,C),λ).
Б) Обемите на двете тела

Без заглавие - 2021-05-08T221220.839.png (431.95 KiB) Прегледано 459 пъти

През т. $M$, която е среда на [tex]B B_{1 }[/tex] построявам права успоредна на $BC$ ,която пресича [tex]C C_{1 }[/tex] в точка $N$
Сечението $AMND$ е трапец, защото [tex]MN || BC, BC||AD \Rightarrow MN || AD[/tex],
но [tex]MN \ne AD[/tex] защото $AD = 5, MN$ е средна отсечка за трапеца [tex]BC C_{1 } B_{1 } \Rightarrow MN = 3[/tex]
Околните стени на пирамидата са равнобедрени трапци с долна и горна основа съответно $5 $ и $1$ и бедро [tex]4 \sqrt{3}[/tex]
По Питагорова теорема намирам апотемата на стената [tex]AB B_{1 } A_{1 } - B_{1 }K = 2 \sqrt{11}[/tex]
Построявам ортогонално сечение на пирамидата по апотемите [tex]P P_{1 }[/tex] и [tex]Q Q_{1 }[/tex] ,като точките $P,Q$ [tex]P_{1 } Q_{1 }[/tex] са среди на основните ръбове [tex]AD,BC, A_{1 } D_{1 }, B_{1 } C_{1 }[/tex]
А)
Разглеждам сечението [tex]PQ Q_{1 } P_{1 }[/tex]:
Нека [tex]\angle LPQ = \angle (ABCD,AMND) = \varphi , \angle PLQ = \alpha , \angle Q_{1 }QP = \beta[/tex]
От [tex]\triangle HQ Q_{1 } \rightarrow \frac{HQ}{ Q_{1 }Q } = cos \beta \Leftrightarrow \frac{2}{2 \sqrt{11} } \Rightarrow cos \beta = \frac{1}{ \sqrt{11} } \Rightarrow sin \beta = \frac{ \sqrt{10} }{ \sqrt{11} }[/tex]
[tex]\frac{ Q_{1 }H }{ Q_{1 }Q } = sin \beta \Leftrightarrow \frac{ Q_{1 }H }{2 \sqrt{11} } = \frac{ \sqrt{10} }{ \sqrt{11} } \Rightarrow Q_{1 }H = 2 \sqrt{10}[/tex]
[tex]L H_{1 }[/tex] е средна отсечка за [tex]\triangle HQ x_{1 } \Rightarrow L H_{1 } = \sqrt{10}[/tex]
[tex]\triangle P H_{1 }L[/tex] е правоъгълен [tex]P H_{1 } = 4 ,L H_{1 } = \sqrt{10} \Rightarrow PL = \sqrt{26}[/tex]
$$sin \varphi = sin \angle (ABC)(AMND) = sin(ABC,\lambda) = \sqrt{ \frac{5}{13} } $$
Б) Обемите на двете тела:

Без заглавие - 2021-05-08T165314.118.png (250.04 KiB) Прегледано 459 пъти

Тялото [tex]ABMDCN[/tex] (долното" тяло) се разделя на две пирамиди:
Триъгълна $DBCN$ с основа $DBC$ и връх $N$ (елемент 1) и четириъгълна $DAMNB$ с основа сечението $DAMN$ и връх $B$ (елемент 2)
[tex]V_{ел.1 } = \frac{1}{3} L H_{1 }. S_{DBC } = \frac{1}{3} \frac{ 25}{2} \sqrt{10} = \frac{25 \sqrt{10} }{6}[/tex]
За да изчисля обема на четириъгълната пирамида се връщам към чертежа на ортогоналното сечение:
Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle PQL[/tex]
[tex]\frac{PQ}{sin \alpha } = \frac{QL}{sin \varphi } \Leftrightarrow \frac{5}{sin \alpha } = \frac{ \sqrt{11} }{ \sqrt{ \frac{5}{13} } } \Rightarrow sin \alpha = \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{11}. \sqrt{13} }[/tex]
От [tex]\triangle QL H_{2 } \rightarrow \frac{L H_{2 } }{QL} = sin(180 ^\circ - \alpha ) \Leftrightarrow L H_{2 } = \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{13} }[/tex]
[tex]V_{ел.2 } = \frac{1}{3}.L H_{2 } . S_{DAMN } = \frac{1}{3} .\frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{13} }. \frac{5 + 3}{2} .\sqrt{26}= \frac{20 \sqrt{10} }{3}[/tex]
Обема на "долното "тяло е
[tex]V_{ел.1 } + V_{ел.2 } = \frac{25 \sqrt{10} }{6} + \frac{20 \sqrt{10} }{3} = \frac{65 \sqrt{10} }{6}[/tex]
[tex]V_{AB... C_{1 } D_{1 } } = ..... \frac{62 \sqrt{10} }{3}[/tex]
Тогава обемът на "горното "тяло е :[tex]\frac{62 \sqrt{10} }{3} - \frac{65 \sqrt{10} }{6} = \frac{59 \sqrt{10} }{6}[/tex]