Ротационно тяло

[Гост]

Дадени са шестоъгълник ABCDMN , за който е известно че AB=a , BC=c , AN=p
CD=DM=MN=NC=b , NC||AB ,MN⊥AB , права l3⊥AB и l3 Ζ A. Пресметнете обема и повърхнината на ротационното тяло получено при въртене на шестоъгълника около l3 , ако: a=6 , b=1 , c=5 , p=4

[mail_dinko]

Качвам чертеж, с червена линия е ротационната ос
Ако не греша имаме квадрат, чиято страна е малка основа на трапец с 2 разл. бедра.
Построяваме [tex]CL||AN[/tex] - транслация с вектор малката основа
Така получаваме триъгълник LBC, от неговите 3 страни намираме полупериметъра р=7, после лицето по ф-ла на Херон [tex]S_{LBC} = 2 \sqrt {21}[/tex]. От тук се намира и височината на триъгълника, която се явява височина на трапеца [tex]2 \sqrt {21} = \frac {5.CH}{2} \Rightarrow CH = \frac { 4 \sqrt {21}}{5}[/tex]
Така намираме [tex]AA_1 = \frac { 4 \sqrt {21}}{5}[/tex]
По питагоровата теорема намираме [tex]NA_1= \sqrt {AN^2 - AA_1 ^2}= \sqrt {\frac {16.25}{25} - \frac {16.21}{25}} \Rightarrow \boxed {NA_1 = \frac {8}{5}}[/tex]
Намираме обема на цилиндъра с [tex]r=A_1 N = \frac85[/tex] и височина 1. [tex]V_1 = \pi \frac{64}{25}[/tex]
Намираме обема на цилиндъра с [tex]r=A_1 C = \frac{13}{5}[/tex] и височина 1. [tex]V_2 = \pi \frac{169}{25}[/tex]
Разликата в тези два обема дават приноса на квадрата в ротационното тяло
[tex]V'=V_2 - V_1 =\pi \frac {21}{5}[/tex]
[tex]\boxed {V'=\pi \frac {21}{5}}[/tex]
Намираме обема на пресечен конус с радиуси [tex]r_1 = A_1 C = \frac {13}{5}[/tex] и [tex]r_2 = 6[/tex], височина [tex]A_1 A =\frac { 4 \sqrt {21}}{5}[/tex]
[tex]V_3 = \frac {\pi}{3}.\frac { 4 \sqrt {21}}{5} (36+ \frac {169}{25} + \frac {13}{5}.6) =\pi . \frac {4 \sqrt {21} .1459}{25.5.3}[/tex]
Намираме обема на конус с [tex]r = \frac {8}{5},h= \frac { 4 \sqrt {21}}{5}[/tex]
[tex]V_4 = \frac { \pi }{3} . \frac {64}{25}. \frac { 4 \sqrt {21}}{5}[/tex]
Разликата им дава приноса на трапеца в обема на рот. тяло
[tex]V '' = \pi . \frac {4 \sqrt {21} .1459}{25.5.3} - \frac { \pi }{3} . \frac {64}{25}. \frac { 4 \sqrt {21}}{5} = \frac {\pi}{3.5}. 4 . \sqrt {21} . \frac {1395}{25} \Rightarrow \boxed {V'' = \pi. 4 . \sqrt {21} . \frac {93}{25}}[/tex]
[tex]V _ {total } =\pi \frac {21}{5} + \pi. 4 . \sqrt {21} . \frac {93}{25} = \frac { \pi }{25}. (105 + 372 \sqrt {21})[/tex]

[mail_dinko]

Намираме цилиндричната повърхнина (околна) на цил. с [tex]r=CA_1 = \frac {13}{5};h=1[/tex]
[tex]S_1 = 2 . \pi . \frac {13}{5} = \frac {26}{5}[/tex]
Намираме цил. пов. (околна) на цил. с [tex]r=NA_1 = \frac {8}{5};h=1[/tex]
[tex]S_2 = 2 . \pi . \frac {8}{5} = \frac {16}{5}[/tex]
Намираме лице на кръг с [tex]r = A_1 C = \frac {13}{5}[/tex]
[tex]S_3 = \pi . \frac {169}{25}[/tex]
Намираме лице на кръг с [tex]r = А_1 N = \frac {8}{5}[/tex]
[tex]S_4 = \pi . \frac {64}{25}[/tex]
[tex]S'= S_1 + S _ 2 + S _3 - S _ 4 = \frac {\pi}{25} (26.5+16.5+169-64)[/tex]
[tex]S '= \pi . \frac {63}{5}[/tex]

Намираме околната повърхнина на пресечения конус, цитиран в предния пост
[tex]S_5 = \pi . 5. (\frac {13}{5}+ 6) = 43 . \pi[/tex]
Намираме околната повърхнина на конус с [tex]r = \frac {8}{5}; l = 4[/tex]
[tex]S_6 = \pi. 4. \frac {8}{5} = \frac {32}{5} . \pi[/tex]
Намираме повърхнината на голямата основа на пресечния конус с [tex]r = 6[/tex]
[tex]S_ 7 = 36 . \pi[/tex]
[tex]S '' = S_5 + S_6 + S _ 7 = \pi (79 + \frac {32}{5} ) = \frac {427}{5} . \pi[/tex]
[tex]S_ {total} = \pi . (\frac {427+63}{5}) =98 \pi[/tex]

[S.B.]

Дадени са шестоъгълник ABCDMN , за който е известно че AB=a , BC=c , AN=p
CD=DM=MN=NC=b , NC||AB ,MN⊥AB , права l3⊥AB и l3 Ζ A. Пресметнете обема и повърхнината на ротационното тяло получено при въртене на шестоъгълника около l3 , ако: a=6 , b=1 , c=5 , p=4

Без заглавие - 2021-05-18T220308.663.png (329.79 KiB) Прегледано 558 пъти

Така видях аз ротационното тяло
Не качвам решението,защото то се припокрива с решението на колегата @mail_dinko