Обем на тяло

[Yara]

СПЕШНО Не мога да реша тази задача и ще се радвам някого да ми помогне
Докажете ,че ако в прав кръгов цилиндър с пълна повърхнина S1, прав кръгов конус с пълна повърхнина S1, прав кръгов пресечен конус с пълна повърхнина S1 е вписана сфера с радиус r , то обемът на тялото е V=[tex]\frac{1}{3}[/tex]S1r.

[Гост]

Код: Избери целия код

[i][b][b][color=#0000FF][/color][/b][/b][/i]

[color=#000040][color=#000040][color=#000000][tex]

Скрит текст: покажи

[/tex][/color][/color][/color]

[Yara]

Код: Избери целия код

[i][b][b][color=#0000FF][/color][/b][/b][/i]

[color=#000040][color=#000040][color=#000000][tex]

Скрит текст: покажи

[/tex][/color][/color][/color]

???

[S.B.]

СПЕШНО Не мога да реша тази задача и ще се радвам някого да ми помогне
Докажете ,че ако в прав кръгов цилиндър с пълна повърхнина S1, прав кръгов конус с пълна повърхнина S1, прав кръгов пресечен конус с пълна повърхнина S1 е вписана сфера с радиус r , то обемът на тялото е V=[tex]\frac{1}{3}[/tex]S1r.

Без заглавие - 2021-05-19T223633.358.png (339.53 KiB) Прегледано 439 пъти

Цилиндър
Радиуса на основата на цилиндъра и радиуса на сферата са равни.Височината на цилиндъра $h = 2r$
[tex]S_{1 } = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r.h = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r.2r = 2 \pi r^{2} + 4 \pi x^{2} \Rightarrow S_{1 } = 6 \pi r^{2}[/tex]
От [tex]\begin{cases} S_{1 } = 6 \pi r^{2} \\ V = \pi r^{2}h = 2 \pi r^{3} \end{cases} \Rightarrow V = \frac{ S_{1 }.r }{3} \Leftrightarrow V = \frac{1}{3} S_{1 }.r[/tex]

Конус
$R$ - радиус на основата на конуса, $l$ - образувателна на конуса, $h$ - височина на конуса
[tex]\triangle OPS \approx \triangle HBS \Rightarrow \frac{OP}{HB} = \frac{OS}{BS} \Leftrightarrow \frac{r}{R} = \frac{h - r}{l} \Leftrightarrow r.l = R.h - r.R \Rightarrow r = \frac{R.h}{l + R}[/tex]
[tex]S_{1 } = \pi R^{2} + \pi Rl \Leftrightarrow S_{1 } = \pi.R(R + l) \Rightarrow R + l = \frac{ S_{1 } }{ \pi.R }[/tex]
[tex]r = \displaystyle\frac{Rh}{R + l} \Leftrightarrow r = \displaystyle \frac{Rh}{\displaystyle \frac{ S_{1 } }{ \pi.R } } = \displaystyle\frac{ \pi. R^{2}.h }{ S_{1 } }[/tex]
Но [tex]V = \frac{ \pi. R^{2}.h }{3} \Rightarrow \pi. R^{2}.h = 3V \Rightarrow r = \frac{3V}{ S_{1 } } \Rightarrow V = \frac{1}{3} S_{1 }.r[/tex]

Пресечен конус

[tex]r_{1 }[/tex] - радиус на горната основа,[tex]r_{2 }[/tex]- радиус на долната основа, $l$ - обрасувателна, $h$ - височина
$h = 2r$ , от свойството на допирателните от външна точка към окръжност [tex]\Rightarrow l = r_{1 }+ r_{2 }[/tex]
[tex]S_{1 } = \pi. r_{1 } ^{2} + \pi . r_{2 } ^{2} + \pi.( r_{1 } + r_{2 }).l = \pi ( r_{1 } ^{2} + r_{2 } ^{2} + ( r_{1 }+ r_{2 }) ^{2}) =2 \pi ( r_{1 } ^{2} + r_{2 } ^{2} + r_{1 }. r_{2 })[/tex]
[tex]V = \pi. \frac{h}{3} ( r_{1 } ^{2} + r_{2 } ^{2} + r_{1 }. r_{2 }) = \frac{r}{3}2. \pi ( r_{1 } ^{2} + r_{2 } ^{2} + r_{1 }. r_{2 } ) = \frac{r}{3}. S_{1 } \Rightarrow V = \frac{r}{3}. S_{1 } \Leftrightarrow V = \frac{1}{3} S_{1 }.r[/tex]