Сфера вписана в пирамида

[Гост]

В триъгълна пирамида с основни ръбове 2а и околни ръбове 4а е вписана сфера. Намерете радиуса на сферата.

[S.B.]

В триъгълна пирамида с основни ръбове 2а и околни ръбове 4а е вписана сфера. Намерете радиуса на сферата.

Без заглавие - 2021-05-31T145743.868.png (323.45 KiB) Прегледано 2547 пъти

$$R = \frac{3V }{ S_{пълна } } $$
ОБЕМ:
[tex]V = \frac{ S_{ABC }.DH }{3}[/tex]
Правя сечение на пирамидата по апотемата $DK$ и височината на основата $CK$ - [tex]\triangle CKD[/tex]
Околните ръбове са равни [tex]\Rightarrow[/tex] върхът $D$ на пирамидата се проектира върху центъра на описаната окръжност - т.$H$
За [tex]\triangle DHC \rightarrow HC = R ; \frac{2a}{\sin 60 ^\circ } = 2R \Rightarrow R = \frac{2a \sqrt{3} }{3}; DH^{2} = (4a)^{2} - ( \frac{2a \sqrt{3} }{3} )^{2} \Rightarrow DH = 2a \sqrt{ \frac{11}{3} }[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{ (2a)^{2} \sqrt{3} }{4} = a^{2} \sqrt{3}[/tex]
$V = \frac{1}{3}. a^{2} \sqrt{3}.2a \sqrt{ \frac{11}{3} }$
$$\Rightarrow V = \frac{2 a^{3} \sqrt{11} }{3}$$

ПЪЛНА ПОВЪРХНИНА:
[tex]S_{пълна } = \frac{6a}{2}.DK + S_{ABC }[/tex]
От[tex]\triangle AKD \rightarrow DK^{2} = (4a)^{2} - a^{2} \Leftrightarrow DK^{2} = 15 a^{2} \Rightarrow DK = a \sqrt{15}[/tex]
[tex]S_{пълна } = 3а.а \sqrt{15} + а^{2} \sqrt{3}[/tex]
$$ \Rightarrow S_{пълна }= а^{2} \sqrt{3}(3 \sqrt{5} + 1) $$

[tex]R = \frac{3V}{ S_{п } } = .................[/tex]