правоъгълен паралелепипед

[mimetol]

В правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 диагоналите AC1 и BD1 имат дължина d и се пресичат в точка О, а мярката на [tex]\angle[/tex] AOB е [tex]\alpha[/tex] . Ръбовете AD и АА1 са равни помежду си.
а) Да се намери обемът на паралелепипеда. Да се намери максималната стойност на обема, ако d=3.
б) През средите К и L на ръбовете АВ и ВС е прекарано сечение, успоредно на диагонала BD1. Да се намери лицето S на това сечение, ако tg α/2=√2/2

[S.B.]

В правоъгълен паралелепипед ABCDA1B1C1D1 диагоналите AC1 и BD1 имат дължина d и се пресичат в точка О, а мярката на [tex]\angle[/tex] AOB е [tex]\alpha[/tex] . Ръбовете AD и АА1 са равни помежду си.
а) Да се намери обемът на паралелепипеда. Да се намери максималната стойност на обема, ако d=3.
б) През средите К и L на ръбовете АВ и ВС е прекарано сечение, успоредно на диагонала BD1. Да се намери лицето S на това сечение, ако tg α/2=√2/2

Без заглавие - 2021-06-03T073702.679.png (401.59 KiB) Прегледано 628 пъти

Подусловие а)
Разглеждам сечението :
[tex]AB C_{1 } D_{1 }[/tex], което е правоъгълник с диагонали [tex]A C_{1 } = B D_{1 } = d ,A C_{1 } \cap B D_{1 } = O , \angle AOB = \alpha[/tex]
Нека $AB = a , BC = CC_{1 }= b$
За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2} = AO^{2 } + BO^{2} - 2.AO.BO .\cos \alpha \Leftrightarrow a^{2} = 2 \frac{ d^{2} }{4}(1 - \cos \alpha ) = 4 \frac{ d^{2} }{4} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow[/tex] $$a = d\sin \frac{ \alpha }{2}$$
За [tex]\triangle BO C_{1 }[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]B C_{1 } ^{2} = 2 \frac{ d^{2} }{4}(1 + \cos \alpha) = 4 \frac{ d^{2} }{4} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow B C_{1 } = d\cos \frac{ \alpha }{2} , BC \sqrt{2} = B C_{1 } \Rightarrow b = BC = B C_{1 } \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow[/tex]
$$b = \frac{ \sqrt{2} }{2} d\cos \frac{ \alpha }{2} $$
[tex]V = AB.BC.C C_{1 } \Leftrightarrow V = a.b.c = a b^{2} \Rightarrow V = d\sin \frac{ \alpha }{2}. \frac{1}{2} d^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow[/tex]
$$V = \frac{ d^{3} }{2}\sin \frac{ \alpha }{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} $$

[tex]d = 3 \Rightarrow V( \alpha) = \frac{27}{2}\sin \frac{ \alpha }{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2}[/tex]

[tex]V'( \alpha ) = \frac{27}{4}\cos \frac{ \alpha }{2}(3 \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} - 2), V'( \alpha) = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{ \alpha }{2}(\cos \frac{ \alpha }{2} + \sqrt{ \frac{2}{3} })(\cos \frac{ \alpha }{2} - \sqrt{ \frac{2}{3} } ) = 0[/tex]

[tex]\alpha \ne \pi \Rightarrow \cos \frac{ \alpha }{2} \ne 0[/tex]

[tex]\cos \frac{ \alpha }{2} = \pm \sqrt{ \frac{2}{3} } \Rightarrow \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{2}{3}, \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]V_{max } = \frac{27}{2}\sin \frac{ \alpha }{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} = \frac{27}{2}. \frac{ \sqrt{3} }{3}. \frac{2}{3}[/tex]
$$V_{max } = 3 \sqrt{3} $$


Подусловие б)
[tex]KL \cap DB = T[/tex]
Построявам права през т. $T$,която е успоредна на [tex]B D_{1 }[/tex] и пресича [tex]DD_{1 }[/tex] в точка $N$
Пре точките $K , L , N$ построявам равнина,която е успоредна на [tex]B D_{1 }[/tex] и минава през $KL$.Тя пресича паралелепипеда в сечението $KLMNP$ както е видно от чертежа.
Ако [tex]S_{KLMNP } = S[/tex],а [tex]S_{KLCDA } = S_{1 }[/tex] то [tex]\frac{ S_{1 } }{S} = \cos \varphi[/tex] ,където [tex]\angle \varphi = \angle DTN = \angle DB D_{1 }[/tex]
[tex]d = 3 , \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \sqrt{3} }{3},\cos \frac{ \alpha }{2}= \sqrt{ \frac{2}{3} }[/tex]
[tex]S_{1 } = \frac{7}{8} S_{ABCD } = \frac{7}{8} d\sin \frac{ \alpha }{2} .\frac{ \sqrt{2} }{2}d\cos \frac{ \alpha }{2} = \frac{7}{8}.3. \frac{ \sqrt{3} }{3}. \frac{ \sqrt{2} }{2}.3. \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }[/tex] $$ S_{1 } = \frac{21}{8}$$
[tex]\cos \varphi = \frac{BD}{B D_{1 } }[/tex], [tex]BD = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } = \sqrt{ d^{2} \sin^{2} \frac{ \alpha }{2} + \frac{1}{2} d^{2} \cos^{2} \frac{ \alpha }{2} } = .....= \sqrt{6} \Rightarrow[/tex] $$\cos \varphi = \frac{ \sqrt{6} }{3}$$
[tex]\frac{ S_{1 } }{S} = \cos \varphi \Rightarrow S_{1 } = S.\cos \varphi \Leftrightarrow \frac{21}{8} = S . \frac{ \sqrt{6} }{3} \Rightarrow S = \frac{21 \sqrt{6} }{16}[/tex]