Сечение на куб

[Гост]

Куб ABCDA1B1C1D1. Точките K и L са центрове съответно на стените A1BC1D1 и BCC1B1. Образувано е сечение с равнината (AKL) на куба.
а) Лицето на сечението = ?
б) Разстоянието от точка D до (AKL) = ?

[S.B.]

Куб ABCDA1B1C1D1. Точките K и L са центрове съответно на стените A1BC1D1 и BCC1B1. Образувано е сечение с равнината (AKL) на куба.
а) Лицето на сечението = ?
б) Разстоянието от точка D до (AKL) = ?

Сигурен ли сте,че $K$ е център на [tex]A_{1 }B C_{1 } D_{1 }[/tex]?

[Гост]

cu.PNG (98.58 KiB) Прегледано 774 пъти

[S.B.]

Куб ABCDA1B1C1D1. Точките K и L са центрове съответно на стените A1BC1D1 и BCC1B1. Образувано е сечение с равнината (AKL) на куба.
а) Лицето на сечението = ?

Без заглавие - 2021-06-09T210036.561.png (290.21 KiB) Прегледано 762 пъти

Приемам ,че т.$K$ е център на стената [tex]A_{1 } B_{1 } C_{1 } D_{1 }[/tex] тъй като е казано СТЕНА, a [tex]A_{1 }B C_{1 } D_{1 }[/tex] не е стена.
Приемам,че кубът има ръб $= 1$
Подусловие а)
[tex]\triangle AA_{1 } K[/tex] е правоъгълен, [tex]AK^{2} = AA_{1 } ^{2}+ A_{1 }K ^{2} \Leftrightarrow AK^{2} = 1 + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2} \Rightarrow AK = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]\triangle ABL[/tex] е правоъгълен - доказва се с теоремата за трите перпендикуляра,
[tex]AL^{2} = AB^{2} + BL^{2} \Leftrightarrow AL^{2}= 1 + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2} \Rightarrow AL = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]\triangle A_{1 }B C_{1 }[/tex] е равностранен [tex]\Rightarrow \angle AC_{1 }B = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle K C_{1 }L[/tex] е равностранен, [tex]K C_{1 }= C_{1 }L = \frac{ \sqrt{2} }{2}, \angle K C_{1 }L = 60 ^\circ \Rightarrow KL = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
За [tex]\triangle AKL[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ KL^{2} - AK^{2} - AL^{2} }{-2.AK.AL} = \frac{5}{6}, \sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{6}[/tex]
[tex]S_{AKL }= \frac{AL.AK}{2}\sin \varphi \Leftrightarrow S_{ALK } = \frac{3}{4}. \frac{ \sqrt{11} }{6} \Rightarrow S_{ALK } = \frac{ \sqrt{11} }{8}[/tex]

[S.B.]

Куб ABCDA1B1C1D1. Точките K и L са центрове съответно на стените A1BC1D1 и BCC1B1. Образувано е сечение с равнината (AKL) на куба.
б) Разстоянието от точка D до (AKL) = ?

Без заглавие - 2021-06-10T084231.203.png (358.72 KiB) Прегледано 746 пъти

Подусловие б)
Разстоянието от т.$D$ до равнината $(ALK)$ се явява височината $DQ$ на пирамидата $DALK$,с основа [tex]\triangle ALK[/tex],която съм показала на допълнителен чертеж.
От подусловие а) знаем,че [tex]KL = \frac{ \sqrt{2} }{2} , AL = AK = \frac{ \sqrt{6} }{2} ,AD = 1[/tex]
Търсим все още неизвестните ръбове на пирамидата $DK$ и $DL$

От чертежа на куба:

[tex]\triangle DK D_{1 }[/tex] е правоъгълен : [tex]D_{1 }D \bot D_{1 }K \Rightarrow DK^{2} = D D_{1 } ^{2} + D_{1 }K ^{2} \Leftrightarrow DK^{2} = 1 + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2} \Rightarrow DK = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]\triangle DCL[/tex] е правоъгълен :[tex]DC \bot CL \Rightarrow DL^{2} = DC^{2} + LC^{2} \Leftrightarrow DL^{2} = 1 + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2} \Rightarrow DL = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]\triangle ALK \cong \triangle DLK[/tex] ( трети признак)

От чертежа на пирамидата:

[tex]\Rightarrow DP = AP = \sqrt{ AL^{2} - PL^{2} } = \sqrt{ \frac{6}{4} - \frac{ 2 }{16} } = \sqrt{ \frac{11}{8} } = \frac{ \sqrt{22} }{4}[/tex]
От [tex]\triangle APD \rightarrow \cos \gamma = \frac{ \sqrt{22} }{11},\sin \gamma = \frac{3 \sqrt{11} }{11}[/tex]

[tex]DQ \bot AP, Q \in AP[/tex]
От [tex]\triangle AQD \rightarrow \frac{DQ}{AD} = \sin \gamma \Leftrightarrow DQ = AD.\sin \gamma = 1. \frac{3 \sqrt{11} }{11} \Rightarrow[/tex]
$$DQ = \frac{3 \sqrt{11} }{11} $$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела сметките някъде!Иначе идеята е ясна

[Гост]

ей, недей мишкува, туй е друга задача, дето решаваш...

[Гост]

чак и лайкове си дават eгаси...

[Гост]

чак и лайкове си дават eгаси...

Какъв ти е проблема?Решението е хубаво,защо да няма лайкове?

[Гост]

S.B, ти сигурна ли си, че AKL е сечение?

[S.B.]

S.B, ти сигурна ли си, че AKL е сечение?

Това е повърхнината на [tex]\triangle AKL[/tex] която използвам за намиране на разстоянието от т.$D$ до равнината на сечението.[tex]\triangle AKL \in[/tex] на равнината на сечението .
Сечението на равнината построена през точките $A,K,L$ с куба е четириъгълникът $APNM$:

Без заглавие - 2021-07-06T162240.637.png (279.85 KiB) Прегледано 662 пъти

[tex]S_{APNM } = S_{ \triangle APL} + S_{ \triangle AMK } + S_{ \triangle KLN} + S_{ \triangle AKL}[/tex]

[tex]\triangle APL \cong \triangle AMK \Rightarrow S_{APL } = S_{AMK }[/tex]
От [tex]\triangle AMA_{1 } \rightarrow AM = \frac{ \sqrt{5} }{2} \Rightarrow S_{AMK } = S_{APL } = \frac{ \sqrt{5} }{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{5} }{8}[/tex]
[tex]S_{ \triangle KLN} = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{1}{8}[/tex]

От [tex]\triangle AMK \rightarrow AK = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]AL = AK = \frac{ \sqrt{6} }{2} , KL = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
За [tex]\triangle AKL[/tex] Прилагам Косинусова теорема и намирам [tex]\cos \varphi = \frac{5}{6} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{6}[/tex]
[tex]S_{ \triangle AKL} = \frac{AK.AL}{2}.\sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{8}[/tex]
[tex]S_{APNM } = \frac{1}{8} + \frac{2 \sqrt{5} }{8} + \frac{ \sqrt{11} }{8} = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + \sqrt{11} }{8}[/tex]

Скрит текст: покажи

Разстоянието от т.$D$ до сечението е еднакво с разстоянието от т.$D$ до $(AKL)$ и е описано по- горе,като подточка б)

[S.B.]

ей, недей мишкува, туй е друга задача, дето решаваш...

Може би визираш условието,което си написал?Вярно е! Ти пишеш,че точките $K$ и $L$ са центрове на СТЕНИТЕ[tex]A_{1 }B C_{1 } D_{1 }[/tex] и [tex]BCC_{1 } B_{1 }[/tex].СТЕНА [tex]A_{1 }B C_{1 } D_{1 }[/tex] просто не съществува Има такава равнина.Може би имаш предвид ,че точла $K$ е неин център?Тогава наистина това е съвсем друга задача,за което аз нямам вина,тъй като аз те помолих да уточниш,но ти не си направи труда да отговориш.Въпреки това ще ти напиша и това решение,но не сега.

[Гост]

S.B, ти сигурна ли си, че AKL е сечение?

Това е повърхнината на [tex]\triangle AKL[/tex] която използвам за намиране на разстоянието от т.$D$ до равнината на сечението.[tex]\triangle AKL \in[/tex] на равнината на сечението .
Сечението на равнината построена през точките $A,K,L$ с куба е четириъгълникът $APNM$:

Без заглавие - 2021-07-06T162240.637.png

[tex]S_{APNM } = S_{ \triangle APL} + S_{ \triangle AMK } + S_{ \triangle KLN} + S_{ \triangle AKL}[/tex]

[tex]\triangle APL \cong \triangle AMK \Rightarrow S_{APL } = S_{AMK }[/tex]
От [tex]\triangle AMA_{1 } \rightarrow AM = \frac{ \sqrt{5} }{2} \Rightarrow S_{AMK } = S_{APL } = \frac{ \sqrt{5} }{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{5} }{8}[/tex]
[tex]S_{ \triangle KLN} = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{1}{8}[/tex]

От [tex]\triangle AMK \rightarrow AK = \frac{ \sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]AL = AK = \frac{ \sqrt{6} }{2} , KL = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
За [tex]\triangle AKL[/tex] Прилагам Косинусова теорема и намирам [tex]\cos \varphi = \frac{5}{6} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{6}[/tex]
[tex]S_{ \triangle AKL} = \frac{AK.AL}{2}.\sin \varphi = \frac{ \sqrt{11} }{8}[/tex]
[tex]S_{APNM } = \frac{1}{8} + \frac{2 \sqrt{5} }{8} + \frac{ \sqrt{11} }{8} = \frac{1 + 2 \sqrt{5} + \sqrt{11} }{8}[/tex]

Скрит текст: покажи

Разстоянието от т.$D$ до сечението е еднакво с разстоянието от т.$D$ до $(AKL)$ и е описано по- горе,като подточка б)

Искаш да кажеш, че M,N,P са среди?

[S.B.]

Искаш да кажеш, че M,N,P са среди?

Именно!Браво!!!Справяш се!

[Гост]

Искаш да кажеш, че M,N,P са среди?

Именно!Браво!!!Справяш се!

и учителката на този, дето е пуснал задачата, като му лепи една двойка за това твърдение, той кво да каже? "S.B. така ми каза!"

[Гост]

и учителката на този, дето е пуснал задачата, като му лепи една двойка за това твърдение, той кво да каже? "S.B. така ми каза!"

Ами просто да я попита в задачата,която тя е задала къде се намира СТЕНАТА [tex]A_{1 }B C_{1 } D_{1 }[/tex] на която $K$ трябва да е център?Или и ти не си чел условието?

[Гост]

S.B, какво му е на условието? Ясно е, че става въпрос за [tex]A_1B_1C_1D_1[/tex]. А твърдението, че [tex]A_1BC_1D1[/tex] е равнина заслужава още една двойка.