Пирамида с основа успоредник

[Гост]

Основата на пирамида е успоредник със страни 10 и 18 и лице 90. Височината е 6 и минава през пресечната точка на диагоналите на основата. Намерете лицето на околната повърхнина.

[ammornil]

Основата на пирамида е успоредник със страни 10 и 18 и лице 90. Височината е 6 и минава през пресечната точка на диагоналите на основата. Намерете лицето на околната повърхнина.

За дадения успоредник построяваме диагоналите, които се пресичат в точка О. Точката О разполовява диагоналите на успоредника. [tex]AO=OC, BO=OD[/tex]

През точка О построяваме прави перпендикулярни на страните на успоредника (височини на успоредника): [tex]F \in AB, L \in CD, FL \bot AB[/tex], [tex]E \in BC, K \in AD, EK \bot BC[/tex], [tex]FL=h_{a}, EK = h_{b}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=a.h_{a}=b.h_{b} \Rightarrow \begin{array}{|l} h_{a}=\frac{S_{ABCD}}{a} \\ h_{b}=\frac{S_{ABCD}}{b} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} h_{a}=\frac{90}{18} \\ \ \\ h_{b}=\frac{90}{10} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} h_{a}=5 \\ \ \\ h_{b}=9 \end{array}[/tex]

[tex]\triangle AOB \cong \triangle COD[/tex]-по три страни [tex]\Rightarrow OF=OL[/tex] съответни височини в еднакви триъгълници. Аналогично [tex]\triangle AOD \cong \triangle BOC[/tex]-по три страни [tex]OK=OE[/tex].
[tex]OF+OL=h_{a} \Rightarrow OF=OL=\frac{1}{2}.h_{a}=\frac{5}{2}[/tex], аналогично [tex]OE=OK=\frac{1}{2}.h_{b}=\frac{9}{2}[/tex]

[tex]\triangle AOM \cong \triangle COM \begin{cases} AO=CO \\ OM-обща \\ \angle AOM = \angle COM = 90 ^\circ \end{cases}[/tex] (еднаквост по втори признак) [tex]\Rightarrow AM=CM[/tex].
Аналогично [tex]\triangle BOM \cong \triangle DOM \Rightarrow BM=DM[/tex]

От горното следва, че [tex]\begin{array}{l} \triangle ABM \cong \triangle CDM \\ \triangle BCM \cong \triangle ADM \end{array}[/tex] по три страни, следователно лицето на околната повърхнина на пирамидата може да се намери като [tex]S_{ok}=2.S_{ABM}+2.S_{BCM}[/tex]

[tex]MO \bot p(ABCD)[/tex] по условие, [tex]\Rightarrow MO \bot AB[/tex]. [tex]OF \bot AB[/tex]по построение.
[tex]\begin{array}{l}MO \bot AB \\ OF \bot AB \end{array} \Rightarrow[/tex] по теорема за трите перпендикуляра [tex]MF \bot AB \Leftrightarrow MF[/tex] -апотема в околната стена АВМ.
Аналогично, МЕ - апотема в околната стена ВСМ. Тогава:
[tex]S_{ABM}=\frac{1}{2}.AB.MF[/tex] и [tex]S_{BCM}=\frac{1}{2}.BC.ME[/tex]

[tex]\triangle FOM[/tex]- правоъгълен [tex]\Rightarrow MF^{2}=OF^{2}+OM^{2}=\left(\frac{5}{2} \right)^{2} + 6^{2}=\frac{25+4.36}{4}=\frac{169}{4} \Rightarrow MF=\frac{13}{2}[/tex]
[tex]\triangle EOM[/tex]- правоъгълен [tex]\Rightarrow ME^{2}=OE^{2}+OM^{2}=\left(\frac{9}{2} \right)^{2} + 6^{2}=\frac{81+4.36}{4}=\frac{225}{4} \Rightarrow MF=\frac{15}{2}[/tex]

[tex]S_{ok}=2.S_{ABM}+2.S_{BCM}=2.\frac{1}{2}.AB.MF+2.\frac{1}{2}.BC.ME=AB.MF+BC.ME=18.\frac{13}{2}+10.\frac{15}{2}=9.13+5.15=117+75=192[/tex]



[tex][/tex]

[S.B.]

Основата на пирамида е успоредник със страни 10 и 18 и лице 90. Височината е 6 и минава през пресечната точка на диагоналите на основата. Намерете лицето на околната повърхнина.

Без заглавие - 2021-10-04T073123.833.png (412.77 KiB) Прегледано 569 пъти

Още един поглед върху задачата
[tex]S_{ABCD } = 90 \Leftrightarrow AB.AD.\sin \angle BAD = 90 \Leftrightarrow 10.18\sin \angle BAD = 90 \Rightarrow \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle BAD = 30 ^\circ[/tex]
[tex]D H_{2 } \bot AB[/tex]
От [tex]\triangle A H_{2 }D \rightarrow D H_{2 } = \frac{AD}{2} \Rightarrow D H_{2 } = 5[/tex] ( лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ[/tex])
От [tex]\triangle D H_{2 }B \rightarrow O K_{2 } = \frac{D H_{2 } }{2} \Rightarrow O K_{2 } = \frac{5}{2}[/tex] (средна отсечка)
В пирамидата [tex]M K_{2 }[/tex] е апотемата на стената $(ABM)$
От [tex]\triangle OMK_{2 } \rightarrow MK_{2 } ^{2 } = 6^{2 } + ( \frac{5}{2}) ^{2 } = \frac{169}{4} \Rightarrow MK_{2 } = \frac{13}{2}[/tex]

[tex]D H_{1 } \bot CD[/tex]
От [tex]\triangle D H_{1 } C \rightarrow D H_{1 } = \frac{DC}{2} \Rightarrow D H_{1 } = 9[/tex]
От [tex]\triangle D H_{1 }B \rightarrow O K_{1 } = \frac{D H_{1 } }{2} \Rightarrow O K_{1 } = \frac{9}{2}[/tex] (средна отсечка)
За пирамидата [tex]MK_{1 }[/tex] е апотема за стената $(BCM)$
От [tex]\triangle MOK_{1 } \rightarrow[/tex] пак по Питагор [tex]MK_{1 } = \frac{15}{2}[/tex]
[tex]S_{околна } = 2. S_{ABM } + 2. BCM_{1 } =2. \displaystyle\frac{18. \displaystyle\frac{13}{2} }{2} + 2. \displaystyle\frac{10. \displaystyle\frac{15}{2} }{2} = 9.13 + 5.15 = 192[/tex]

[nikola.topalov]

Разглеждаме пирамидата [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex] ([tex]AB=DC=10[/tex], [tex]BC=AD=18[/tex]). Нека [tex]AC\cap BD=O[/tex]. Тогава [tex]S_{BCO}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}=22,5[/tex]. Спускаме височината [tex]OH\perp BC[/tex] ([tex]H\in \overline{BC}[/tex]), дължината на която пресмятаме с формулата за лице [tex]OH=2,5[/tex]. Понеже [tex]OH[/tex] е проекцията на [tex]MH[/tex] и [tex]OH\perp BC[/tex] по построение, то от теоремата за трите перпендикуляра имаме [tex]MH\perp BC[/tex]. И така намираме [tex]MH=6,5[/tex] от правоъгълния [tex]\triangle OHM[/tex]. Аналогично намираме височината в [tex]\triangle ABM[/tex], която е равна на [tex]7,5[/tex]. Оттук вече можем да пресметнем лицето на околната повърхнина на пирамидата: [tex]S_1=7,5×10+6,5×18=192[/tex].

[S.B.]

Разглеждаме пирамидата [tex]ABCDM[/tex] с основа [tex]ABCD[/tex] ([tex]AB=DC=10[/tex], [tex]BC=AD=18[/tex]). Нека [tex]AC\cap BD=O[/tex]. Тогава [tex]S_{BCO}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}=22,5[/tex]......

Поздравления за решението!
Но на твърдението [tex]S_{BCO } = \frac{1}{4} S_{ABCD }[/tex] се основава цялото Ваше решение.Въз основа на него и стойността на повърхнината на успоредника Вие намирате стойностите на височините към страните на успоредника.
Как доказвате,че [tex]S_{BCO } = \frac{1}{4} S_{ABCD }[/tex]?

Без заглавие - 2021-10-06T173712.518.png (159.18 KiB) Прегледано 532 пъти

________________________________________________________________
Мисля,че успях да го докажа и аз:
[tex]S_{BOC } = \frac{BO.CO}{2} \sin \angle BOC[/tex]
[tex]S_{AOB } = \frac{AO.BO}{2} \sin \angle (180 ^\circ - \angle BOC)[/tex]
[tex]CO = AO, \sin (180 ^\circ - \angle BOC) = \sin \angle BOC \Rightarrow S_{BOC } = S_{AOB }[/tex]
[tex]S_{AOB } + S_{BOC } = S_{ABC } = \frac{1}{2} S_{ABCD } \Leftrightarrow 2 S_{BOC } = \frac{1}{2} S_{ABCD } \Rightarrow[/tex]
$$S_{BOC } = \frac{1}{4} S_{ABCD } $$