Сфери - вписана в пирамида и описана около нея сфера

[nikola.topalov]

Основата [tex]ABCD[/tex] на пирамидата [tex]ABCDM[/tex] е квадрат със страна [tex]3[/tex]. Околните стени [tex]ADM[/tex] и [tex]DCM[/tex] са перпендикулярни на равнината на основата и [tex]MD=4[/tex]. Да се намери разстоянието от центъра на вписаната в пирамидата сфера до центъра на описаната около пирамидата сфера.

[S.B.]

Основата [tex]ABCD[/tex] на пирамидата [tex]ABCDM[/tex] е квадрат със страна [tex]3[/tex]. Околните стени [tex]ADM[/tex] и [tex]DCM[/tex] са перпендикулярни на равнината на основата и [tex]MD=4[/tex]. Да се намери разстоянието от центъра на вписаната в пирамидата сфера до центъра на описаната около пирамидата сфера.

Без заглавие - 2021-10-20T210356.031.png (401.04 KiB) Прегледано 594 пъти

Центърът $J$ на вписаната сфера се проектира както следва:
В равнината на основата $ABCD$ в точка $Q$,в стената $DCM$ в точка $O$ и в стената $ADM$ в точка $L$
Точките $O$ и $L$ са центрове на вписаните в [tex]\triangle CDM[/tex] и [tex]\triangle ADM[/tex] окръжности,които се явяват проекции на вписаната в пирамидата сфера.
От [tex]\triangle DCM \rightarrow DC = 3 , DM = 4 \Rightarrow CM = 5[/tex]
Нека [tex]OT = r \Rightarrow 2r + 2.CM = P_{DCM } \Rightarrow r + 5 = 6 \Rightarrow r = 1[/tex]
[tex]JQ = 1[/tex],а от квадрата [tex]DPQT \rightarrow DQ = \sqrt{2}[/tex],където $DQ$ е разстоянието от върха $D$ до проекцията $Q$ на центъра $J$ на вписаната сфера върху основата $ABCD$ на пирамидата.
Правим сечение на пирамидата по диагонала на основата $DB$ и околния ръб $DM$
[tex]\triangle DBM[/tex] е правоъгълен [tex]\Rightarrow MB[/tex] се явява диаметър на описаната около пирамидата сфера.
[tex]т.S \in BM , BS = SM[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]т.$S$ е център на описаната сфера.
Построявам [tex]S S_{1 } \bot DB, S_{1 } \in DB[/tex]
[tex]SS_{1 }[/tex] е средна отсечка за [tex]\triangle DBM \Rightarrow SS_{1 } = \frac{1}{2}DM = 2[/tex]
[tex]DB = 3 \sqrt{2}[/tex] (като диагонал на квадрата $ABCD$ със страна $3$) , [tex]S_{1 }[/tex] е среда на [tex]DB \Rightarrow DS_{1 } = \frac{3 \sqrt{2} }{2}[/tex]
Тогава [tex]Q S_{1 } = D S_{1 } - DQ = \frac{3 \sqrt{2} }{2} - \sqrt{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
Разстоянието между центровете на двете сфери е $JS$ и го намирам от правоъгълния [tex]\triangle JS J_{1 }[/tex] по Питагорова теорема:
[tex]JS^{2 } = J J_{1 } ^{2 } + J_{1 }S ^{2 } \Leftrightarrow JS^{2 } = 1^{2 } + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$JS = \frac{ \sqrt{6} }{2} $$

[Гост]

Защо се приема (като даденост), че около пирамидата може да се опише сфера, а в нея може да се впише сфера?

[Гост]

*а в нея може да се впише сфера = и в нея може да се впише сфера

[S.B.]

Защо се приема (като даденост), че около пирамидата може да се опише сфера, а в нея може да се впише сфера?

А кой казва,че се приема (като даденост)?
В условието не се изисква доказателство,но всеки може сам да провери:

1) Ако в пирамида може да се впише сфера,то всичките и стени са допирателни към сферата и ъглополовящите равнини на двустенните ъгли между всеки две от стените минават през центъра $J$ на сферата

2)Ако около пирамида може да се опише сфера,то всичките ѝ ръбове са хорди на сферата и симетралните им равнини минават през центъра на сферата точка $S$

След като съм определила мястото и на двата центъра и съм предоставила чертежи и разсъждения за това, Вие спокойно можете да направите съответните проверки,а относно някакъв пропуск в условиeто на задачата ,претенциите си адресирайте към колегата nikola.topalov.

[nikola.topalov]

...Разстоянието между центровете на двете сфери е $JS$ и го намирам от правоъгълния [tex]\triangle JS J_{1 }[/tex] по Питагорова теорема:
[tex]JS^{2 } = J J_{1 } ^{2 } + J_{1 }S ^{2 } \Leftrightarrow JS^{2 } = 1^{2 } + ( \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{2 } \Rightarrow[/tex]
$$JS = \frac{ \sqrt{6} }{2} $$

Страхотно решение!

[S.B.]

Благодаря!