Обем на триъгълна пирамида

[nikola.topalov]

За основа на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] служи [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]CA=CB=5[/tex] и [tex]AB=2\sqrt{5}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на вписаната в нея сфера е [tex]\dfrac{\sqrt{5}}{3}[/tex].

[S.B.]

За основа на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] служи [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]CA=CB=5[/tex] и [tex]AB=2\sqrt{5}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на вписаната в нея сфера е [tex]\dfrac{\sqrt{5}}{3}[/tex].

Без заглавие - 2021-12-17T103029.490.png (281.48 KiB) Прегледано 422 пъти

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам:
[tex]\cos \angle C = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \angle C = \frac{4}{5} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}. 5^{2 }. \frac{4}{5} = 10[/tex]
[tex]AD = BD \Rightarrow DH[/tex] е симетрала на $AB$ и $AH = BH$
[tex]DK \bot AC \Rightarrow HK[/tex] е проекцията на $DK$ върху равнината на основата и по трите перпендикуляра [tex]HK \bot AC[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{AHC } = \displaystyle \frac{1}{2} S_{ABC } = 5 \\ S_{AHC } = \displaystyle\frac{1}{2} AC.HK\end{cases} \Rightarrow\displaystyle \frac{1}{2} 5.HK = 5 \Rightarrow HK = 2[/tex]
Нека [tex]HD = h, KD = k[/tex] са височината и апотемата на пирамидата.
От [tex]\triangle DHK \rightarrow k^{2 } = h^{2 } + HK^{2 } \Leftrightarrow k^{2 } = h^{2 } + 4[/tex]
[tex]V = \frac{10h}{3} , S_{пълно } = 2. \frac{1}{2}.5.k + 10 = 5(k+ 2)[/tex]
[tex]r = \frac{3V}{ S_{пълна } } \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{5} }{3} = \frac{10h}{5(k + 2)} \Rightarrow \frac{ \sqrt{5} }{3} = \frac{2h}{(k + 2)}[/tex]
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 } + 4\\ \displaystyle \frac{ \sqrt{5} }{3} = \displaystyle \frac{2h}{2 + k} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 } = 4 \\ h = \displaystyle\frac{ \sqrt{5}(2 + k) }{6} \end{array} \Leftrightarrow k^{2 } = \displaystyle \frac{5. (2 + k)^{2 } }{36} + 4[/tex]

След преработка се получава:
[tex]31k^{2 } - 20k - 164 = 0 ,D = 144^{2 }, k_{1,2 } = \frac{20 \pm144 }{62},k>0 \Rightarrow k = \frac{82}{31}[/tex]
[tex]h = \displaystyle\frac{ \sqrt{5}(2 + \displaystyle\frac{82}{31}) }{6} = \displaystyle\frac{24 \sqrt{5} }{31}[/tex]
[tex]V = \displaystyle\frac{ S_{ABC }h }{3} \Leftrightarrow V = \displaystyle\frac{10. \displaystyle\frac{24 \sqrt{5} }{31} }{3}[/tex]
$$V = \frac{80 \sqrt{5} }{31} $$

[nikola.topalov]

Забравили сте да добавите [tex]S_{ABD}[/tex] за лицето на пълната повърхнина на пирамидата.

[S.B.]

Забравили сте да добавите [tex]S_{ABD}[/tex] за лицето на пълната повърхнина на пирамидата.

Необяснима разсеяност от моя страна!
Извинявам се за пропуска!

[S.B.]

За основа на триъгълната пирамида [tex]ABCD[/tex] служи [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]CA=CB=5[/tex] и [tex]AB=2\sqrt{5}[/tex]. Околната стена [tex]ABD[/tex] е перпендикулярна на основата и [tex]AD=BD[/tex]. Да се намери обемът на пирамидата, ако радиусът на вписаната в нея сфера е [tex]\dfrac{\sqrt{5}}{3}[/tex].

Без заглавие - 2021-12-17T103029.490.png

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам:
[tex]\cos \angle C = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \angle C = \frac{4}{5} \Rightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2}. 5^{2 }. \frac{4}{5} = 10[/tex]
[tex]AD = BD \Rightarrow DH[/tex] е симетрала на $AB$ и $AH = BH$
[tex]DK \bot AC \Rightarrow HK[/tex] е проекцията на $DK$ върху равнината на основата и по трите перпендикуляра [tex]HK \bot AC[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{AHC } = \displaystyle \frac{1}{2} S_{ABC } = 5 \\ S_{AHC } = \displaystyle\frac{1}{2} AC.HK\end{cases} \Rightarrow\displaystyle \frac{1}{2} 5.HK = 5 \Rightarrow HK = 2[/tex]
Нека [tex]HD = h, KD = k[/tex] са височината и апотемата на пирамидата.
От [tex]\triangle DHK \rightarrow k^{2 } = h^{2 } + HK^{2 } \Leftrightarrow k^{2 } = h^{2 } + 4[/tex]

[tex]V = \frac{ S_{ABC }.h }{3} \Leftrightarrow V = \frac{10.h}{3}[/tex]
[tex]S_{пълно } = S_{ABC } + S_{ADC } + S_{BDC } + S_{ABD } \Leftrightarrow S_{пълно } = 10 + 5k + h \sqrt{5}= 5(2 + k) + h \sqrt{5}[/tex]

Образувам системата:

[tex]\begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 } + 4 \\ r = \displaystyle\frac{3V}{ S_{пълно } } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 } + 4 \\ \displaystyle\frac{ \sqrt{5} }{3} = \displaystyle \frac{10h}{5(2 + k) + h \sqrt{5} } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 } + 4 \\ 5 \sqrt{5}(2 + k) + 5h = 30h \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^{2 } = h^{2 }+ 4 \\ h = \displaystyle\frac{ \sqrt{5} }{5}(2 + k) \end{array}[/tex]

[tex]k^{2 } = \frac{5}{25} (4 + 4k + k^{2 } ) + 4 \Leftrightarrow .... k^{2 } - k - 6 = 0,D = 25 , k_{1,2 } = \frac{1 \pm 5 }{2}, k>0 \Rightarrow k = 3[/tex]

[tex]h = \frac{ \sqrt{5} }{5}(k + 2)= \frac{ \sqrt{5} }{5}.5 \Rightarrow h = \sqrt{5}[/tex]
$$V = \frac{10 \sqrt{5} }{3} $$

Още веднъж се извинявам за пропуска!

[Гост]

Понятието апотема на пирамидата се използва само за правилни пирамиди,иначе е височина в околна стена към основен ръб.