Стереометрия

[Гост]

Даден е куб.
Намерете ъгъла между равнините ABC1 и AB1C.

[KOPMOPAH]

Куб-4.png (13.57 KiB) Прегледано 377 пъти

$$A_1C_1=BC_1=A_1B=\sqrt2$$ $$A_1G=\frac {\sqrt 6}2$$ $$GH=1\Rightarrow \cos \varphi =\frac {GH}{A_1G}=\frac 1{\displaystyle \frac {\sqrt 6}2}=\cdots$$

[Гост]

Screenshot_20220302-225822.png (1.75 MiB) Прегледано 357 пъти

Госпожата в час построи пресечницата AO и от там перпендикуляри към нея и ни написа план как да я решим.
Бихте ли ми обяснили къде съм допуснал грешка с този метод на решаване .. Понеже косинуса на ъгъла ми излиза приблизително - 1,38475, което е невъзможно, понеже косинус е в интервала от [-1;1]
Трябва да съм допуснал грешка някъде...

[KOPMOPAH]

Куб-4-3.png (30.11 KiB) Прегледано 322 пъти

Пресечницата на равнините $(AB_1C)$ и $(ABC_1)$ е $AG$, където $G$ е пресечената точка на диагоналите на стената $BCC_1B_1$.

Триъгълникът $\triangle ABG$ е правоъгълен с катети $AB=1$, $BG=\frac {\sqrt 2}2$ и хипотенуза $$AG=\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt 2}2\right)^2}=\frac {\sqrt 6}2.$$ Нека $BI$ е височината към хипотенузата $AG$. От метричните зависимости в триъгълника имаме, че $$BG^2=GI.AG\Rightarrow GI=\frac{BG^2}{AG}=\frac{\displaystyle\left(\frac{\sqrt 2}2\right)^2}{\displaystyle\frac{\sqrt 6}2}=\cdots=\frac{\sqrt 6}6=\frac 13AG$$Отсечката $AG$ е медиана в равностранния $\triangle AB_1C$, а след като т.$I$ я разделя в отношение $GI:IA=1:2$ значи, че тази точка е център на равностранния триъгълник. В такъв случай отсечката $BI$ е височина в правилната триъгълна пирамида $AB_1CB$ и търсеният ъгъл $\varphi$ e $90^\circ$.

[nikola.topalov]

Може и така да разсъждаваме: [tex]BC_1\perp B_1C[/tex], защото диагоналите в квадрат са взаимно перпендикулярни. От друга страна имаме, че [tex]B_1C[/tex] се проектира ортогонално в/у [tex](ABCD)[/tex] в [tex]BC[/tex] и [tex]AB\perp BC[/tex], следователно [tex]B_1C\perp AB[/tex] по теоремата за трите перпендикуляра. И така [tex]B_1C[/tex] е перпендикулярна на две пресекателни прави от [tex](ABC_1)[/tex], а следователно и на цялата равнина. Понеже [tex]B_1C\subset (ACB_1)[/tex], то [tex](ACB_1)\perp(ABC_1)[/tex].

Следствие: всяка равнина, съдържаща правата [tex]B_1C[/tex], е перпендикулярна на [tex](ABC_1)[/tex].