Намиране на елементи на правилна триъгъл а пирамида

[Гост]

Дадено: Правилна триъгълна пирамида.
височина h = 4 см.
Апотема k = 5 см.

Търсим : основния ръб a, околния ръб l, S, S1, V

[ammornil]

Дадено: Правилна триъгълна пирамида.
височина h = 4 см.
Апотема k = 5 см.
Търсим : основния ръб a, околния ръб l, S, S1, V

220304_002.png (32.7 KiB) Прегледано 761 пъти

За правилна триъгълна пирамида са винаги в сила:
Основата е равностранен триъгълник: [tex]AB=AC=BC=a, \phantom{QQ} h_{a}=h_{b}=h_{c}=m_{a}=m_{b}=m_{c}[/tex]

[tex]C_{1} \in AB, AC_{1}=C_{1}B=\frac{a}{2}, \phantom{QQ} B_{1} \in AC, AB_{1}=B_{1}C=\frac{a}{2}, \phantom{QQ} A_{1} \in BC, BA_{1}=A_{1}C=\frac{a}{2}[/tex]

[tex]AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=h_{a},\phantom{QQ} \begin{array}{l} AA_{1} \bot BC \\ BB_{1} \bot AC \\ CC_{1} \bot AB \end{array} , \phantom{QQ} AA_{1} \cap BB_{1} \cap CC_{1} = O[/tex], [tex]h_{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]

Точка [tex]О[/tex] е медицентър [tex]\Rightarrow \frac{AO}{OA_{1}}=\frac{BO}{OB_{1}}=\frac{CO}{OC_{1}}=\frac{2}{1} \Rightarrow AO=BO=CO=\frac{2}{3}.h_{a}=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \phantom{QQ} OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}=\frac{1}{3}.h_{a}=\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex]

Всички околни страни са равнобедрени триъгълници: [tex]\triangle ABM \cong \triangle BCM \cong \triangle ACM, \phantom{QQ} AM=BM=CM=l[/tex]

Височините на околните стени имат за пети краищата на съответните височини на основата: [tex]MA_{1}=MB_{1}=MC_{1}=k, \phantom{QQ} \begin{array}{l} MA_{1} \bot BC \\ MB_{1} \bot AC \\ MC_{1} \bot AB \end{array}[/tex]

Височината на пирамидата има за пета пресечната точка на височините на основата: [tex]MO=H, MO \bot p(ABC) \Rightarrow \angle MOA= \angle MOB = \angle MOC = 90 ^\circ[/tex]

Като знаем кои отсечки са взаимно перпендикулярни можем да запишем следните равенства, базирани на Питагорова теорема.
[tex]\triangle AC_{1}M \rightarrow \frac{a^{2}}{4} + k^{2} = l^{2} \phantom{QQ} \triangle AOM \rightarrow \frac{a^{2}}{3}+ H^{2} = l^{2} \phantom{QQ} \triangle A_{1}OM \rightarrow \frac{a^{2}}{12}+ H^{2} = k^{2}[/tex]

[tex]\phantom{QQ} B_{_{ABC}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, \phantom{QQ} S_{_{ABCМ}}=3\frac{a.k}{2}, \phantom{QQ} S_{1_{ABCМ}}=S_{_{ABCМ}}+B_{_{ABC}}, \phantom{QQ} V{_{ABCМ}}=\frac{B.H}{3}=\frac{a^{2}.H.\sqrt{3}}{12}[/tex]
----------------------------------КРАЙ НА ТЕОРИЯ ------------------------------

Използвайки горното можем да намерим всички търсени елементи като използваме дадените.
[tex]H=4\ cm, \phantom{QQ} k=5\ cm[/tex]

[tex]\triangle A_{1}OM \rightarrow \frac{a^{2}}{12}+ H^{2} = k^{2} \Rightarrow \frac{a^{2}}{12}=k^{2}-H^{2} \Rightarrow a^{2}=12(k^{2}-H^{2})=12(25-16)=12.9=108 \Rightarrow a = 6\sqrt{3}\ cm[/tex]

[tex]\triangle AOM \rightarrow \frac{a^{2}}{3}+ H^{2} = l^{2} \Rightarrow l^{2}=\frac{108}{3}+ 16=36+16=52 \Rightarrow l=2\sqrt{13}\ cm[/tex]

[tex]B_{_{ABC}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{108\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\ cm^{2}, \phantom{QQ} S_{_{ABCМ}}=3\frac{6\sqrt{3}.5}{2}=45\sqrt{3}\ cm^{2}, \phantom{QQ} S_{1_{ABCМ}}=S_{_{ABCМ}}+B_{_{ABC}}=27\sqrt{3}+45\sqrt{3}=72\sqrt{3}\ cm^{2}[/tex]

[tex]V{_{ABCМ}}=\frac{a^{2}.H.\sqrt{3}}{12}=\frac{108.4.\sqrt{3}}{12}=36\sqrt{3}\ cm^{3}[/tex]